Как изменится угол поворота и угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, со временем, используя закон

Загадочный_Парень

41

Чтобы найти изменение угла поворота и угловое ускорение тела, используя заданный закон изменения угловой скорости \(\omega = at + bt^2\), давайте разделим этот процесс на два этапа: нахождение угловой скорости \(\omega\) и нахождение угла поворота \(\varphi\).

Нахождение угловой скорости \(\omega\):

Используя заданный закон изменения угловой скорости \(\omega = at + bt^2\) и значения \(a=3 \, \text{рад/с}^2\) и \(b=0,5 \, \text{рад/с}^2\), найдем значение угловой скорости \(\omega\) в данный момент времени \(t\).

Для этого подставим значение времени \(t=3 \, \text{с}\) в формулу:

\[\omega = 3 \cdot 3 + 0,5 \cdot (3)^2\]

Выполняя вычисления, получим:

\[\omega = 9 + 0,5 \cdot 9 = 9 + 4,5 = 13,5 \, \text{рад/с}\]

Таким образом, угловая скорость тела через 3 секунды после начала вращения будет равна \(13,5 \, \text{рад/с}\).

Нахождение угла поворота \(\varphi\):

Чтобы найти насколько тело будет повернуто через 3 секунды после начала вращения, нужно интегрировать закон изменения угловой скорости \(\omega\) по времени от начального момента \(t=0\) до момента времени \(t=3 \, \text{с}\).

Используем формулу интеграла для нахождения угла поворота \(\varphi\):

\[\varphi = \int_{0}^{3}\omega \, dt\]

Подставим значение угловой скорости \(\omega =13,5 \, \text{рад/с}\) в это уравнение:

\[\varphi = \int_{0}^{3}13,5 \, dt\]

Выполняя вычисления интеграла, получим:

\[\varphi = 13,5 \int_{0}^{3} dt\]

\[\varphi = 13,5 \cdot \left[ t \right]_{0}^{3}\]

\[\varphi = 13,5 \cdot (3 - 0)\]

\[\varphi = 13,5 \cdot 3\]

\[\varphi = 40,5 \, \text{рад}\]

Таким образом, тело будет повернуто на угол \(40,5 \, \text{рад}\) через 3 секунды после начала вращения.