Как изменяется расстояние между двумя материальными точками в момент времени t1, если вектора их скоростей v1

Ледяная_Душа

25

Чтобы определить изменение расстояния между двумя материальными точками в момент времени \( t_1 \), нам сначала нужно найти расстояние между точками в произвольный момент времени \( t \), а затем вычислить это расстояние в момент времени \( t_1 \).

Для начала, рассмотрим формулы для векторов скорости \( \mathbf{v_1} \) и \( \mathbf{v_2} \), которые даны в задаче:

\[ \mathbf{v_1} = 5t\mathbf{i} + 2t^2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{v_2} = 4\mathbf{i} + t\mathbf{j} + 2t^2\mathbf{k} \]

В этих формулах, \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) и \( \mathbf{k} \) - единичные векторы, указывающие направления осей \( x \), \( y \) и \( z \) соответственно. \( t \) - время, а \( ti \) - значит "3 умножить на \( t \)".

Чтобы найти расстояние между точками, вспомним, что вектор скорости \( \mathbf{v} \) - это производная вектора пути \( \mathbf{r} \) по времени \( t \): \( \mathbf{v} = \frac{{d\mathbf{r}}}{{dt}} \). Можно записать это как \( d\mathbf{r} = \mathbf{v} dt \).

Интегрируя обе части этого уравнения, получим: \( \int{d\mathbf{r}} = \int{\mathbf{v}} dt \).

Интегрируя левую часть, получим путь \( \mathbf{r} \) между двумя точками, а интегрируя правую часть, получим:

\[ \mathbf{r} = \int{\mathbf{v}} dt \]

Таким образом, нам нужно интегрировать каждую компоненту вектора скорости по времени. Давайте посмотрим на каждую компоненту по отдельности:

Для \( x \)-компоненты:

\[ \int{(5t)} dt = \frac{5}{2} t^2 + C_1 \]

Для \( y \)-компоненты:

\[ \int{(2t^2)} dt = \frac{2}{3} t^3 + C_2 \]

Для \( z \)-компоненты:

\[ \int{3} dt = 3t + C_3 \]

Таким образом, вектор пути \( \mathbf{r} \) может быть записан как:

\[ \mathbf{r} = \left( \frac{5}{2} t^2 + C_1 \right)\mathbf{i} + \left( \frac{2}{3} t^3 + C_2 \right)\mathbf{j} + \left( 3t + C_3 \right)\mathbf{k} \]

Теперь, чтобы найти расстояние между точками, мы должны вычислить расстояние между векторами пути при двух разных значениях времени. Возьмем два времени \( t_a \) и \( t_b \), чтобы определить две точки:

\[
\mathbf{r_a} = \left( \frac{5}{2} t_a^2 + C_1 \right)\mathbf{i} + \left( \frac{2}{3} t_a^3 + C_2 \right)\mathbf{j} + \left( 3t_a + C_3 \right)\mathbf{k}
\]

\[
\mathbf{r_b} = \left( \frac{5}{2} t_b^2 + C_1 \right)\mathbf{i} + \left( \frac{2}{3} t_b^3 + C_2 \right)\mathbf{j} + \left( 3t_b + C_3 \right)\mathbf{k}
\]

Расстояние между этими двумя точками можно определить с помощью формулы расстояния между точками в трехмерном пространстве:

\[
d = \sqrt{(x_{b} - x_{a})^2 + (y_{b} - y_{a})^2 + (z_{b} - z_{a})^2}
\]

Тогда расстояние между точками в момент времени \( t_1 \) будет:

\[
d_{t_{1}} = \sqrt{\left( \frac{5}{2} t_1^2 + C_1 - \frac{5}{2} t_{i}^2 \right)^2 + \left( \frac{2}{3} t_1^3 + C_2 - \frac{2}{3} t_{i}^3 \right)^2 + \left( 3t_1 + C_3 - 3t_{i} \right)^2}
\]

Это формула позволяет нам найти расстояние между точками в момент времени \( t_1 \). Здесь \( t_i \) - это 3c, примерно 3 раза время в секундах.

Чтобы построить график зависимости расстояния между материальными точками от времени, нужно выбрать несколько значений времени, вычислить расстояние с помощью формулы и отобразить результаты на графике. При этом учтите, что конкретные значения констант \( C_1 \), \( C_2 \) и \( C_3 \) могут влиять на форму графика.

Надеюсь, эта информация поможет вам решить задачу и построить график!