Как можно доказать, что многоугольник не является правильным, если его серединные перпендикуляры к двум сторонам

Skvoz_Pyl

64

Для того чтобы доказать, что многоугольник не является правильным, если его серединные перпендикуляры к двум сторонам параллельны, нужно рассмотреть определение правильного многоугольника.

Правильный многоугольник — это многоугольник, все стороны и углы которого равны между собой. Таким образом, чтобы опровергнуть правильность многоугольника, необходимо найти хотя бы одну пару сторон, которые не равны.

Если серединные перпендикуляры многоугольника к двум сторонам параллельны, это означает, что отрезки, проведенные от середины одной стороны до середины другой стороны, будут иметь одинаковую длину и будут параллельны самим сторонам.

Возьмем противоположные стороны многоугольника и обозначим их как AB и CD, а их середины как M и N соответственно.

Если многоугольник является правильным, то AB и CD должны быть равны между собой.

Однако, если серединные перпендикуляры к этим сторонам параллельны, значит, M и N находятся на одинаковом расстоянии от сторон AB и CD. Обозначим это расстояние как d.

Тогда отрезки AM и BN, проведенные от вершин многоугольника до его серединных перпендикуляров, будут также равны между собой и иметь длину d.

Предположим, что многоугольник является правильным. Это означает, что все его стороны равны между собой. Обозначим длину стороны как s.

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Этот треугольник является прямоугольным, так как AM и MB — перпендикуляры, а перпендикулярные отрезки к одной и той же прямой образуют прямые углы.

В прямоугольном треугольнике AMB можно применить свойство Пифагора: \(AB^2 = AM^2 + MB^2\). Подставим в это уравнение известные значения: \(s^2 = d^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2\).

Раскроем скобки и приведем подобные члены: \(s^2 = d^2 + \frac{s^2}{4}\).

Упростим уравнение, умножив обе части на 4: \(4s^2 = 4d^2 + s^2\).

Теперь сгруппируем члены с \(s^2\): \(3s^2 = 4d^2\).

Фактически, у нас имеется квадратное уравнение. И если мы полагаем, что сторона многоугольника равна \(s > 0\) (что логично, потому что длина не может быть отрицательной или равной нулю), то \(3s^2 > 0\).

Также мы знаем, что длины сторон и расстояние d измеряются величинами с одним измерением, поэтому \(4d^2 > 0\).

Таким образом, у нас получается \(3s^2 > 0\) и \(4d^2 > 0\). Но это означает, что сумма положительных чисел больше нуля, и это противоречит гипотезе, что многоугольник является правильным.

Следовательно, мы доказали, что многоугольник не является правильным, если его серединные перпендикуляры к двум сторонам параллельны.