Как можно доказать, что сумма векторов SM⃗, SN⃗, SP⃗ и SQ⃗ равна 4SO⃗ в четырехугольной пирамиде SMNPQ, где MNPQ

Yaroslava_8285

14

Чтобы доказать, что сумма векторов \(\vec{SM}\), \(\vec{SN}\), \(\vec{SP}\) и \(\vec{SQ}\) равна \(4\vec{SO}\) в четырехугольной пирамиде \(SMNPQ\), где \(MNPQ\) - параллелограмм, мы можем использовать свойства векторов и понятие параллелограмма.

1. Сначала рассмотрим параллелограмм \(MNPQ\). По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны.

2. Также, по определению векторов в параллелограмме, векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{PQ}\) равны и направлены в одну сторону, а векторы \(\vec{MQ}\) и \(\vec{NP}\) равны и направлены в другую сторону.

3. Предположим, что точка \(O\) - центр параллелограмма \(MNPQ\), то есть точка пересечения его диагоналей.

4. Так как вектор \(\vec{MN}\) равен и направлен в ту же сторону, что и вектор \(\vec{PQ}\), то сумма векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{PQ}\) равна \(2\vec{MO}\). Аналогично, сумма векторов \(\vec{MQ}\) и \(\vec{NP}\) равна \(2\vec{NO}\).

5. Поэтому, сумма всех четырех векторов, \(\vec{SM}\), \(\vec{SN}\), \(\vec{SP}\) и \(\vec{SQ}\), будет равна \(2\vec{MO} + 2\vec{NO}\).

6. Но так как \(\vec{MO} = \vec{NO} = \frac{1}{2} \vec{SO}\) (потому что точка \(O\) - центр параллелограмма \(MNPQ\)), то сумма всех четырех векторов будет равна \(2 \cdot \frac{1}{2} \vec{SO} + 2 \cdot \frac{1}{2} \vec{SO} = 4\vec{SO}\).

Таким образом, мы показали, что сумма векторов \(\vec{SM}\), \(\vec{SN}\), \(\vec{SP}\) и \(\vec{SQ}\) равна \(4\vec{SO}\) в четырехугольной пирамиде \(SMNPQ\).