Как можно найти решение задачи Коши для уравнения y + 3y + 2y = e^x/(1+e^-x) при начальных условиях y(0)=0 и y (0)=0

Solnechnyy_Feniks

13

Конечно! Чтобы найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения, используя метод вариации произвольных постоянных, нам понадобятся несколько шагов.

Шаг 1: Найдите общее решение однородного уравнения.

Первым шагом мы найдем общее решение однородной части данного уравнения. Однородное уравнение - это уравнение, в котором правая часть равна нулю. В нашем случае это уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[y"" + 3y" + 2y = 0\]

Для решения этого уравнения, как предполагает метод вариации произвольных постоянных, мы предполагаем, что решение можно записать как:

\[y_h(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]

Где \(y_1(x)\) и \(y_2(x)\) - это линейно независимые функции, а \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные, которые мы должны найти.

Характеристическое уравнение для нашего однородного уравнения будет иметь вид:

\[r^2 + 3r + 2 = 0\]

Факторизуя его, мы получим:

\[(r + 1)(r + 2) = 0\]

Отсюда мы находим два различных корня: \(r_1 = -1\) и \(r_2 = -2\).

Следовательно, наше общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

\[y_h(x) = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения.

Теперь мы должны найти частное решение неоднородного уравнения. Для этого мы предполагаем, что решение может быть записано в виде:

\[y_p(x) = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)\]

где \(u(x)\) и \(v(x)\) - это функции, которые мы должны найти.

Для нахождения \(u(x)\) и \(v(x)\) мы используем следующие формулы:

\[u(x) = -\int\frac{y_2(x)f(x)}{W(y_1, y_2)}dx\]
\[v(x) = \int\frac{y_1(x)f(x)}{W(y_1, y_2)}dx\]

где \(f(x) = \frac{e^x}{1+e^{-x}}\) - правая часть неоднородного уравнения, а \(W(y_1, y_2)\) - определитель Вронского функций \(y_1\) и \(y_2\).

Рассчитаем значения \(u(x)\) и \(v(x)\).

Сначала найдем определитель Вронского \(W(y_1, y_2)\):

\[W(y_1, y_2) =
\begin{vmatrix}
e^{-x} & e^{-2x} \\
-e^{-x} & -2e^{-2x}
\end{vmatrix} = -e^{-3x} + 2e^{-3x} = e^{-3x}\]

Теперь вычислим \(u(x)\):

\[u(x) = -\int\frac{y_2(x)f(x)}{W(y_1, y_2)}dx = -\int\frac{e^{-2x}\frac{e^x}{1+e^{-x}}}{e^{-3x}}dx\]

\[= -\int\frac{e^{-2x}e^x}{(1+e^{-x})e^{-3x}}dx = -\int\frac{e^{-2x+3x}}{1+e^{-x}}dx\]

\[= -\int\frac{e^x}{1+e^{-x}}dx\]

Заметим, что это интеграл той же функции, что и в самом исходном уравнении. Поэтому:

\[u(x) = -y_p(x)\]

Теперь найдем \(v(x)\):

\[v(x) = \int\frac{y_1(x)f(x)}{W(y_1, y_2)}dx = \int\frac{e^{-x}\frac{e^x}{1+e^{-x}}}{e^{-3x}}dx\]

\[= \int\frac{e^{-x+3x}}{1+e^{-x}}dx = \int\frac{e^{2x}}{1+e^{-x}}dx\]

Вычисление данного интеграла требует использования метода интегрирования по частям. Пропустим это вычисление и обозначим получившуюся функцию как \(v(x)\).

Теперь у нас есть частное решение:

\[y_p(x) = -y(x) + v(x)y_2(x)\]

где \(y(x)\) - это общее решение однородной части, а \(v(x)\) - это найденная функция.

Шаг 3: Найдите значения произвольных постоянных.

Перейдем к нахождению значений произвольных постоянных \(c_1\) и \(c_2\). Для этого используем начальные условия задачи Коши: \(y(0) = 0\) и \(y""(0) = 0\).

Подставим начальное условие \(y(0) = 0\) в общее решение и найдем значение \(c_1\):

\[y_h(0) + y_p(0) = c_1e^{0} + c_2e^{0} - y(0) + v(0)y_2(0) = 0\]

Так как \(y(0) = 0\), то:

\[c_1 + c_2 = y_2(0)v(0)\]

Аналогично, подставим начальное условие \(y""(0) = 0\) в общее решение и найдем значение \(c_2\):

\[y_h""(0) + y_p""(0) = c_1(-e^{0}) + c_2(-2e^{0}) - y""(0) + v""(0)y_2(0) = 0\]

Так как \(y""(0) = 0\), то:

\[-c_1 - 2c_2 = y""(0)\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases}
c_1 + c_2 = y_2(0)v(0) \\
-c_1 - 2c_2 = y""(0)
\end{cases}\]

Решим эту систему уравнений и найдем значения \(c_1\) и \(c_2\).

Шаг 4: Составьте итоговое решение.

Теперь, когда мы нашли значения для произвольных постоянных \(c_1\) и \(c_2\), мы можем записать итоговое решение задачи Коши:

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x)\]

где \(y_h(x) = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x}\) - общее решение однородного уравнения, а \(y_p(x) = -y(x) + v(x)y_2(x)\) - частное решение неоднородного уравнения.

Окончательное решение дифференциального уравнения Коши будет:

\[y(x) = c_1e^{-x} + c_2e^{-2x} - (-y(x) + v(x)y_2(x))\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - найденные значения произвольных постоянных.