Как можно показать, что векторы a (2; 1; 1) и b (2; 2; -6) могут быть выбраны в качестве ребер прямоугольного

Alena

66

Чтобы показать, что векторы a (2; 1; 1) и b (2; 2; -6) могут быть выбраны в качестве ребер прямоугольного параллелепипеда, мы можем проверить, что эти векторы ортогональны друг другу. Если векторы ортогональны, то они могут быть ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Для этого нужно проверить, что скалярное произведение векторов a и b равно нулю. Скалярное произведение векторов a и b высчитывается по формуле:
\[a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z,\]
где a_x, a_y, a_z - координаты вектора a, а b_x, b_y, b_z - координаты вектора b.

Подставим значения векторов:
\[a \cdot b = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-6) = 4 + 2 - 6 = 0.\]
Получили, что скалярное произведение a и b равно нулю. Это означает, что векторы a и b перпендикулярны друг другу и могут быть выбраны в качестве ребер прямоугольного параллелепипеда.

Теперь давайте найдем длину третьего ребра прямоугольного параллелепипеда. Для этого нам понадобятся длины векторов a и b.

Длина вектора вычисляется по формуле:
\[\|a\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2},\]
где a_x, a_y, a_z - координаты вектора a.

Подставим значения вектора a:
\[\|a\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.\]

Аналогично вычисляем длину вектора b:
\[\|b\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44}.\]

Теперь, используя найденные длины векторов a и b, мы можем найти длину третьего ребра прямоугольного параллелепипеда, применив теорему Пифагора:
\[c = \sqrt{\|a\|^2 + \|b\|^2},\]
где c - длина третьего ребра.

Подставим значения:
\[c = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{44})^2} = \sqrt{6 + 44} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}.\]

Таким образом, длина третьего ребра прямоугольного параллелепипеда равна \(5 \sqrt{2}\).