Как можно представить число 5,2626... в виде бесконечной периодической десятичной дроби?

Barbos

16

Чтобы представить число 5,2626... в виде бесконечной периодической десятичной дроби, мы можем использовать метод последовательного вычитания.

Давайте представим это число, пусть мы обозначим его как \(x\). Теперь давайте создадим другую переменную \(y\), которая будет равна первой цифре десятичной части нашего числа \(x\). В данном случае первое число десятичной части равно 2, потому что 5,2626... начинается с 5,2.

Теперь давайте преобразуем наше число \(x\) и переменную \(y\) в уравнение. Вычитая \(y\) из \(x\), мы получаем:

\[x - y = 5,2626... - 2 = 3,2626...\]

Отметим, что десятичная часть числа \(3,2626...\) теперь начинается со строки, которую мы использовали для определения \(y\), то есть 2.

Теперь решим это уравнение \(x - y = 3,2626...\) для числа \(x\). Для этого давайте "уберем" все бесконечности и периоды из числа \(3,2626...\).

Умножим обе стороны уравнения на 100, чтобы перевести первую цифру после запятой в целое число:

\[100x - 100y = 326,2626...\]

Теперь давайте вычтем предыдущее уравнение ( \(x - y = 3,2626...\)) из этого нового уравнения ( \(100x - 100y = 326,2626...\)). Когда мы это сделаем, все бесконечности и периоды исчезнут:

\[100x - 100x + 100y - y = 326,2626... - 3,2626...\]

Упростим это выражение:

\[99y = 323\]

Теперь разделим обе стороны на 99:

\[y = \frac{323}{99}\]

Число \(\frac{323}{99}\) - это бесконечная периодическая десятичная дробь, где периодом является число 26.

Таким образом, при представлении числа 5,2626... в виде бесконечной периодической десятичной дроби, мы получаем:

\[5,2626... = 5 + \frac{323}{99} = 5 + 3,\overline{26}\]