Как можно провести прямую, которая будет перпендикулярна плоскости x+4y+5z-1=0 и какие будут направляющие косинусы этой

Змей

25

Для начала, нам потребуется найти вектор нормали к плоскости \(x+4y+5z-1=0\). Вектор нормали будет образован коэффициентами \(x\), \(y\) и \(z\), умноженными на -1. Значит, вектор нормали будет иметь следующие координаты: \((1,\ 4,\ 5)\).

Чтобы найти направляющие косинусы прямой, перпендикулярной плоскости, нам нужно найти координаты вектора, который будет параллелен этой прямой. Но у нас есть несколько вариантов для выбора координат этого вектора. Давайте выберем простой вариант и возьмем координаты точки C из условия задачи, то есть (2, 0, 0).

Теперь, чтобы найти вектор, параллельный прямой и проходящий через точку С, мы можем вычесть координаты точки С из координат вектора нормали к плоскости:

\((1,\ 4,\ 5) - (2,\ 0,\ 0) = (-1,\ 4,\ 5)\).

Таким образом, направляющие косинусы прямой, перпендикулярной плоскости \(x+4y+5z-1=0\), будут равны координатам вектора \((-1,\ 4,\ 5)\). Для вычисления направляющих косинусов делим каждую координату вектора на длину вектора:

\[\vec{v} = (-1,\ 4,\ 5)\]
\[\lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}\]

Координаты вектора направляющих косинусов будут равны:
\[l = \frac{-1}{\sqrt{42}},\ m = \frac{4}{\sqrt{42}},\ n = \frac{5}{\sqrt{42}}\]

Итак, мы можем провести прямую, перпендикулярную плоскости \(x+4y+5z-1=0\), используя вектор \((-1,\ 4,\ 5)\) и направляющие косинусы \(\frac{-1}{\sqrt{42}}\), \(\frac{4}{\sqrt{42}}\) и \(\frac{5}{\sqrt{42}}\).