Как можно раскомпоновать вектор f (9;7;4) по заданным векторам i (0;1;0), j (1;1;0) и k (1;0;1)? Пожалуйста

Тигрёнок_6979

50

Для раскомпоновки вектора \(f(9,7,4)\) по заданным векторам \(i(0,1,0)\), \(j(1,1,0)\) и \(k(1,0,1)\), мы можем использовать метод векторного произведения.

1. Сначала найдем векторное произведение между векторами \(j\) и \(k\):
\[j \times k = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, -1 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (1, -2, -1).\]

2. Затем найдем векторное произведение между векторами \(k\) и \(i\):
\[k \times i = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, -(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1), 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (-1, 0, 1).\]

3. Теперь найдем векторное произведение между векторами \(i\) и \(j\):
\[i \times j = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 - 0 \cdot 1, -(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1), 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (0, 1, -1).\]

4. Теперь рассчитаем коэффициенты для каждого вектора раскомпоновки, используя формулу:
\[\frac{f \cdot u}{u \cdot u}\]
где \(u\) - это каждый из заданных векторов \(i\), \(j\) и \(k\), а \(\cdot\) представляет скалярное произведение векторов.

Для вектора \(i\):
\[\frac{f \cdot i}{i \cdot i} = \frac{(9,7,4) \cdot (0,1,0)}{(0,1,0) \cdot (0,1,0)} = \frac{(0 \cdot 9) + (7 \cdot 1) + (0 \cdot 4)}{(0 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0)} = \frac{7}{1} = 7.\]

Для вектора \(j\):
\[\frac{f \cdot j}{j \cdot j} = \frac{(9,7,4) \cdot (1,1,0)}{(1,1,0) \cdot (1,1,0)} = \frac{(9 \cdot 1) + (7 \cdot 1) + (4 \cdot 0)}{(1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0)} = \frac{16}{2} = 8.\]

Для вектора \(k\):
\[\frac{f \cdot k}{k \cdot k} = \frac{(9,7,4) \cdot (1,0,1)}{(1,0,1) \cdot (1,0,1)} = \frac{(9 \cdot 1) + (7 \cdot 0) + (4 \cdot 1)}{(1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) + (1 \cdot 1)} = \frac{13}{2} = 6.5.\]

5. Наконец, раскомпонуем вектор \(f\) по заданным векторам, используя найденные коэффициенты:
\[f = 7i + 8j + 6.5k.\]

Таким образом, вектор \(f(9,7,4)\) можно раскомпоновать по заданным векторам \(i(0,1,0)\), \(j(1,1,0)\) и \(k(1,0,1)\) следующим образом: \(f = 7i + 8j + 6.5k\).