Как можно разложить вектор bo по векторам ad и ab в случае данной трапеции abcd с основаниями ad=15 и bc=10 и точкой

Chernaya_Roza_3739

32

Чтобы разложить вектор \(\overrightarrow{bo}\) по векторам \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\) в случае трапеции \(abcd\), нам потребуется использовать метод векторного сложения.

Векторный метод позволяет разложить вектор на два или более вектора, таким образом выражая исходный вектор через указанные векторы. В данном случае мы хотим разложить вектор \(\overrightarrow{bo}\) по векторам \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\).

Шаг 1: Построение треугольника

Для начала нам нужно построить треугольник \(odb\), чтобы лучше визуализировать векторы и соотношения между ними.
Так как точка \(o\) - точка пересечения диагоналей, то проведём от неё лучи до вершин \(a\), \(d\) и \(b\), образуя треугольник \(adb\). Кроме того, проведём вектор \(\overrightarrow{ob}\), начинающийся в точке \(o\) и заканчивающийся точкой \(b\).

[\[odb\)](geometry:triangle/points;o;d;b)

Шаг 2: Использование векторного сложения

Для разложения вектора \(\overrightarrow{bo}\) по векторам \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\), мы будем использовать векторное сложение.

Векторное сложение говорит нам, что если мы имеем два вектора, скажем вектор \(\overrightarrow{a}\) и вектор \(\overrightarrow{b}\), то сумму этих векторов, обозначаемую как \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\), можно представить геометрически как вектор, начинающийся в начале вектора \(\overrightarrow{a}\) и заканчивающийся в конце вектора \(\overrightarrow{b}\).

В нашем случае, чтобы разложить вектор \(\overrightarrow{bo}\) по вектору \(\overrightarrow{ad}\), мы будем искать вектор \(\overrightarrow{x}\), который будет указывать на соответствующую точку на векторе \(\overrightarrow{ad}\). То есть, мы будем искать:

\(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{ad} = \overrightarrow{bo}\)

Аналогично, чтобы разложить вектор \(\overrightarrow{bo}\) по вектору \(\overrightarrow{ab}\), мы будем искать вектор \(\overrightarrow{y}\):

\(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{ab} = \overrightarrow{bo}\)

Шаг 3: Вычисление разложения

Чтобы найти искомые векторы \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\), нам нужно решить систему уравнений, образованную векторными уравнениями выше.

Обратите внимание, что векторы \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\) являются сторонами трапеции \(abcd\), а значит, их значения можно найти, используя координаты соответствующих точек. В данном случае, длина вектора \(\overrightarrow{ad}\) равна 15, а длина вектора \(\overrightarrow{ab}\) равна 10.

Учитывая это, мы можем записать:

\(\overrightarrow{x} \cdot (15, 0) = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{o})\)

и

\(\overrightarrow{y} \cdot (10, 0) = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{o})\)

Перепишем уравнения, используя координаты точек:

\(\overrightarrow{x} \cdot (15, 0) = (10, 0)\)

и

\(\overrightarrow{y} \cdot (10, 0) = (10, 0)\)

Шаг 4: Решение системы уравнений

Давайте решим систему уравнений, чтобы найти значения векторов \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\).

Рассмотрим первое уравнение:
\(\overrightarrow{x} \cdot (15, 0) = (10, 0)\)

Чтобы найти значение вектора \(\overrightarrow{x}\), мы должны разделить координату \(x\) вектора \((10, 0)\) на 15:
\(\overrightarrow{x} = \left(\frac{10}{15}, 0\right) = \left(\frac{2}{3}, 0\right)\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:
\(\overrightarrow{y} \cdot (10, 0) = (10, 0)\)

Аналогично, значение вектора \(\overrightarrow{y}\) можно найти, разделив координату \(x\) вектора \((10, 0)\) на 10:
\(\overrightarrow{y} = \left(\frac{10}{10}, 0\right) = (1, 0)\)

Шаг 5: Проверка результатов

Давайте проверим, что наши векторы \(\overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{y}\) корректно разложены по векторам \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\).

Умножим вектор \(\overrightarrow{x}\) на вектор \(\overrightarrow{ad}\):
\(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{ad} = \left(\frac{2}{3}, 0\right) \cdot (15, 0) = \left(\frac{2}{3} \cdot 15 + 0 \cdot 0\right) = 10\)

Умножим вектор \(\overrightarrow{y}\) на вектор \(\overrightarrow{ab}\):
\(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{ab} = (1, 0) \cdot (10, 0) = (1 \cdot 10 + 0 \cdot 0) = 10\)

Оба результаты равны 10, что означает, что мы корректно разложили вектор \(\overrightarrow{bo}\) по векторам \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\).

Таким образом, мы можем записать разложение вектора \(\overrightarrow{bo}\) по векторам \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\) следующим образом:

\(\overrightarrow{bo} = 10 \cdot \overrightarrow{ad} + 10 \cdot \overrightarrow{ab}\)

Окончательный ответ: вектор \(\overrightarrow{bo}\) можно разложить по векторам \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ab}\) следующим образом: \(\overrightarrow{bo} = 10 \cdot \overrightarrow{ad} + 10 \cdot \overrightarrow{ab}\).