Как можно решить следующую систему уравнений: xy+3x-4y=12 и xy+2x-2y=9?

Вероника_285

57

Чтобы решить систему уравнений xy+3x-4y=12 и xy+2x-2y=9, будем применять метод замены или метод исключения. Давайте выберем метод исключения для данной системы уравнений.

Шаг 1: Умножим первое уравнение на -1, чтобы избавиться от первого слагаемого с положительным знаком перед xy:
\[-(xy+3x-4y)=-(12)\]
\[-xy-3x+4y=-12\]

Шаг 2: Сложим это уравнение с вторым уравнением:
\[(-xy-3x+4y)+(xy+2x-2y)=(-12)+(9)\]
\[(-xy+xy)+(-3x+2x)+(4y-2y)=-3\]
\[-x+2y=-3\]

Таким образом, мы получили новое уравнение -x+2y=-3, которое является системой с одним уравнением и двумя неизвестными.

Шаг 3: Решим это уравнение относительно x, выразив x через y. Для этого вычтем 2y из обоих сторон уравнения:
\[x=2y-3\]

Шаг 4: Подставим найденное значение x в одно из исходных уравнений. Давайте подставим его в первое уравнение:
\[(2y-3)y+3(2y-3)-4y=12\]
\[2y^2-3y+6y-9-4y=12\]
\[2y^2-y-9=12\]
\[2y^2-y-21=0\]

Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем попробовать разложить его на множители или использовать квадратное уравнение \(y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). В данном случае, разложение на множители дает квадратное уравнение:
\[(2y+7)(y-3)=0\]

Таким образом, получаем два возможных значения для y: y=-\(\frac{7}{2}\) и y=3.

Шаг 6: Подставим каждое значение y в уравнение x=2y-3, чтобы найти соответствующие значения x. Для y=-\(\frac{7}{2}\), получим:
\[x=2(-\frac{7}{2})-3\]
\[x=-7-3\]
\[x=-10\]

Для y=3, получаем:
\[x=2(3)-3\]
\[x=6-3\]
\[x=3\]

Поэтому, система уравнений имеет два решения: (x,y)=(-10,-\(\frac{7}{2}\)) и (x,y)=(3,3).