Сколько различных прямоугольников можно получить, разрезая 8x8 шахматную доску по линиям сетки? Все прямоугольники

Anna

64

Чтобы решить эту задачу, мы можем применить комбинаторику. Для начала посмотрим, сколько прямоугольников можно образовать, разрезая доску по горизонтальным линиям.

Итак, имея 8 горизонтальных линий, мы можем выбрать 2 из них, чтобы получить верхнюю и нижнюю границы прямоугольника. Обозначим это как \(\binom{8}{2}\) (читается как "8 по 2"). Это сочетание из 8 по 2 и равно \(\frac{8!}{2!(8-2)!}\).

Теперь рассмотрим вертикальные линии. У нас также будет \(\binom{8}{2}\) способов выбрать линии сетки для левой и правой границы прямоугольника.

Чтобы найти общее количество прямоугольников, мы умножаем количество способов выбрать горизонтальные и вертикальные линии: \(\binom{8}{2} \times \binom{8}{2}\).

Теперь давайте посчитаем это значение:

\(\binom{8}{2}\) = \(\frac{8!}{2!(8-2)!}\) = \(\frac{8 \times 7}{2 \times 1}\) = 28.

Итак, количество способов выбрать горизонтальные и вертикальные линии равно 28^2 = 784.

Но у нас есть еще одно условие: все прямоугольники считаются различными, если они не одинаковые по форме.
Как нам учесть это условие?

Мы можем заметить, что каждый прямоугольник определяется своими четырьмя углами. Поскольку у нас 8 горизонтальных линий и 8 вертикальных линий, то у нас есть 9 возможных позиций для каждого из четырех углов прямоугольника. Таким образом, у нас будет \(9 \times 9 \times 9 \times 9\) = 6561 различный прямоугольник.

Таким образом, количество различных прямоугольников, которые можно получить, разрезая 8x8 шахматную доску по линиям сетки, составляет 6561.