Как можно упростить выражение (5x-6)/(5-x)+(3x+16)/(x-5)?

Stepan

14

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам. Чтобы упростить выражение \(\frac{{5x-6}}{{5-x}}+\frac{{3x+16}}{{x-5}}\), нам нужно объединить две дроби в одну. Для этого нам потребуется привести обе дроби к единому знаменателю.

Шаг 1: Найдем общий знаменатель для дробей. Заметим, что знаменатель первой дроби \((5-x)\) и знаменатель второй дроби \((x-5)\) на самом деле являются разностями \((5- x)\) и \(-(5 - x)\). Поэтому, мы можем записать общий знаменатель \((5 - x)\).

Шаг 2: Приведем каждую дробь к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(-(5 - x)\), а числитель и знаменатель второй дроби на \((5 - x)\). Получим:

\[
\frac{{(5x - 6) \cdot (5 - x)}}{{(5 - x) \cdot (5 - x)}} + \frac{{(3x + 16) \cdot (5 - x)}}{{(x - 5) \cdot (5 - x)}}
\]

Шаг 3: Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые в числителях:

\[
\frac{{25x - 5x^2 - 30 + 6x + 80 - 16x}}{{(5 - x) \cdot (5 - x)}}
\]

\[
\frac{{(25x + 6x - 16x) + (-5x^2 - 30 + 80)}}{{(5 - x) \cdot (5 - x)}}
\]

\[
\frac{{15x - 5x^2 + 50}}{{(5 - x) \cdot (5 - x)}}
\]

Шаг 4: Дальше нам нужно сократить выражение, если это возможно. В данном случае мы не можем сократить его дальше, поэтому итоговое упрощенное выражение будет:

\[
\frac{{15x - 5x^2 + 50}}{{(5 - x) \cdot (5 - x)}}
\]

Надеюсь, эта пошаговая процедура помогла вам понять, как упростить данное выражение. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!