Как можно выразить следующие события через события Аi (i = 1,2,3)? а) По крайней мере один из студентов решил задачу

Drakon

49

Для решения данной задачи введем следующие события:

${А}_1$ - первый студент решил задачу
${А}_2$ - второй студент решил задачу
${А}_3$ - третий студент решил задачу

а) Для выражения "по крайней мере один из студентов решил задачу", можно использовать следующее событие:

$А={А}_1\cup {А}_2\cup {А}_3$

где символ $\cup$ означает объединение множества (хотя бы один из студентов решил задачу). Таким образом, событие А будет выполняться, если хотя бы одно из трех событий ${А}_1$, ${А}_2$ или ${А}_3$ произошло.

б) Для выражения "все студенты решили задачу", можно использовать следующее событие:

$В={А}_1\cap {А}_2\cap {А}_3$

где символ $\cap$ означает пересечение множества (все студенты решили задачу). Таким образом, событие В будет выполняться, если все три события ${А}_1$, ${А}_2$ и ${А}_3$ произошли одновременно.

в) Для выражения "только один из студентов решил задачу", можно использовать следующее событие:

$С=({А}_1\cap \mathrm{\neg }{А}_2\cap \mathrm{\neg }{А}_3)\cup (\mathrm{\neg }{А}_1\cap {А}_2\cap \mathrm{\neg }{А}_3)\cup (\mathrm{\neg }{А}_1\cap \mathrm{\neg }{А}_2\cap {А}_3)$

где символ $\mathrm{\neg }$ означает отрицание (негативное событие). Таким образом, событие C будет выполняться, если только одно из трех событий ${А}_1$, ${А}_2$ или ${А}_3$ произошло.

г) Для выражения "ни один из студентов не решил задачу", можно использовать следующее событие:

$D=\mathrm{\neg }{А}_1\cap \mathrm{\neg }{А}_2\cap \mathrm{\neg }{А}_3$

где символ $\cap$ означает пересечение множества (ни один из студентов не решил задачу). Таким образом, событие D будет выполняться, если ни одно из трех событий ${А}_1$, ${А}_2$ или ${А}_3$ не произошло.

д) Для выражения "ровно два студента решили задачу", можно использовать следующее событие:

$Е=({А}_1\cap {А}_2\cap \mathrm{\neg }{А}_3)\cup ({А}_1\cap \mathrm{\neg }{А}_2\cap {А}_3)\cup (\mathrm{\neg }{А}_1\cap {А}_2\cap {А}_3)$

где символ $\cup$ означает объединение множества (ровно два студента решили задачу). Таким образом, событие Е будет выполняться, если ровно два из трех событий ${А}_1$, ${А}_2$ или ${А}_3$ произошли.

Таким образом, мы представили каждое из указанных событий через использование событий ${А}_1$, ${А}_2$ и ${А}_3$ с помощью объединения ($\cup$), пересечения ($\cap$) и отрицания ($\mathrm{\neg }$).