Как можно выразить следующие события через события Аi (i = 1,2,3)? а) По крайней мере один из студентов решил задачу

Drakon

49

Для решения данной задачи введем следующие события:

\(А_1\) - первый студент решил задачу
\(А_2\) - второй студент решил задачу
\(А_3\) - третий студент решил задачу

а) Для выражения "по крайней мере один из студентов решил задачу", можно использовать следующее событие:

\(А = А_1 \cup А_2 \cup А_3\)

где символ \(\cup\) означает объединение множества (хотя бы один из студентов решил задачу). Таким образом, событие А будет выполняться, если хотя бы одно из трех событий \(А_1\), \(А_2\) или \(А_3\) произошло.

б) Для выражения "все студенты решили задачу", можно использовать следующее событие:

\(В = А_1 \cap А_2 \cap А_3\)

где символ \(\cap\) означает пересечение множества (все студенты решили задачу). Таким образом, событие В будет выполняться, если все три события \(А_1\), \(А_2\) и \(А_3\) произошли одновременно.

в) Для выражения "только один из студентов решил задачу", можно использовать следующее событие:

\(С = (А_1 \cap \neg А_2 \cap \neg А_3) \cup (\neg А_1 \cap А_2 \cap \neg А_3) \cup (\neg А_1 \cap \neg А_2 \cap А_3)\)

где символ \(\neg\) означает отрицание (негативное событие). Таким образом, событие C будет выполняться, если только одно из трех событий \(А_1\), \(А_2\) или \(А_3\) произошло.

г) Для выражения "ни один из студентов не решил задачу", можно использовать следующее событие:

\(D = \neg А_1 \cap \neg А_2 \cap \neg А_3\)

где символ \(\cap\) означает пересечение множества (ни один из студентов не решил задачу). Таким образом, событие D будет выполняться, если ни одно из трех событий \(А_1\), \(А_2\) или \(А_3\) не произошло.

д) Для выражения "ровно два студента решили задачу", можно использовать следующее событие:

\(Е = (А_1 \cap А_2 \cap \neg А_3) \cup (А_1 \cap \neg А_2 \cap А_3) \cup (\neg А_1 \cap А_2 \cap А_3)\)

где символ \(\cup\) означает объединение множества (ровно два студента решили задачу). Таким образом, событие Е будет выполняться, если ровно два из трех событий \(А_1\), \(А_2\) или \(А_3\) произошли.

Таким образом, мы представили каждое из указанных событий через использование событий \(А_1\), \(А_2\) и \(А_3\) с помощью объединения (\(\cup\)), пересечения (\(\cap\)) и отрицания (\(\neg\)).