Как можно выразить вектор OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→− в трапеции ABCD, где AD = 4BC?

Elena

48

Чтобы выразить вектор \(\overrightarrow{OD}\) через векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\), мы можем использовать свойства векторов и знания о трапеции ABCD.

Первым шагом давайте рассмотрим, как связаны векторы \(\overrightarrow{OD}\) и \(\overrightarrow{OA}\). Обратите внимание, что векторы \(\overrightarrow{OD}\) и \(\overrightarrow{OA}\) имеют общую начальную точку O и образуют диагональ в трапеции ABCD.

Так как AD является базой трапеции ABCD и равна 4BC, мы можем записать следующее:

\(\overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{BC}\)

Теперь давайте рассмотрим, как связаны векторы \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\). Обратите внимание, что вектор \(\overrightarrow{AD}\) является суммой векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\):

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\)

Мы можем заменить \(\overrightarrow{AD}\) с использованием предыдущего уравнения (AD = 4BC) и получить:

\(4\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\)

Далее, мы хотим выразить \(\overrightarrow{DC}\) через векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\). Для этого рассмотрим, как вектор \(\overrightarrow{DC}\) связан с векторами \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\). Обратите внимание, что BC и OD являются параллельными сторонами трапеции ABCD, поэтому BC и OD связаны соотношением:

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OD}\)

Теперь мы можем заменить \(\overrightarrow{BC}\) в предыдущем уравнении и получить:

\(4\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OD}\)

Как видите, \(\overrightarrow{OD}\) уже появляется на обеих сторонах уравнения. Мы можем перенести его на одну сторону и получить:

\(3\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AB}\)

Для финального шага, давайте выразим \(\overrightarrow{OD}\) из этого уравнения:

\(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)

Таким образом, мы получили выражение вектора \(\overrightarrow{OD}\) через векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\):

\(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как выразить вектор \(\overrightarrow{OD}\) через векторы \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\) в трапеции ABCD. Если у вас возникнут ещё вопросы - не стесняйтесь задавать!