Как можно выразить вектор OD−→− с использованием векторов OA−→−, OB−→− и OC−→− в данной трапеции ABCD, где AD = 12BC?

Skvoz_Tuman

66

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства векторов и знания о трапеции.

Обозначим векторы следующим образом:
\(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\),
\(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\),
\(\overrightarrow{OC} = \vec{c}\).

Так как трапеция ABCD имеет особое свойство, что её боковые стороны параллельны, мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Отрезок BC является параллельным переносом отрезка AD. Таким образом, мы можем сказать, что \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\).

2. Отрезок OA является параллельным переносом отрезка OB. Это означает, что \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB}\).

3. Отрезок DA является параллельным переносом отрезка CB. Поэтому \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}\).

Используя эти свойства, мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{OD}\) с помощью данных векторов.

Сначала заметим, что:

\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD}\)

Теперь мы можем выразить вектор AD и вектор OA через заданные векторы:

\(\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB})\), так как вектор OA это половина суммы векторов OC и OB.
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\), так как вектор BC равен вектору AD.

Теперь мы можем заменить значения векторов OA и AD в исходном выражении:

\(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})\)

Раскрывая скобки и комбинируя одинаковые вектора, мы получаем:

\(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{OD}\) может быть выражен с использованием векторов OA, OB и OC следующим образом:

\(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}\)

Итак, мы получили выражение для вектора \(\overrightarrow{OD}\).