Каковы значения сторон треугольника, если сторона b равна 5, угол a равен 80 градусам, а угол B равен 40 градусам?

Solnce_V_Gorode

12

Для решения данной задачи нам понадобятся три важных факта о треугольниках. Давайте посмотрим на них поочередно:

1. Треугольник имеет углы, сумма которых равна \(180\) градусам. Это указывает на то, что сумма всех углов треугольника равна \(180\) градусам.

\[a + B + C = 180^\circ\]

2. В треугольнике обозначения сторон и углов обычно выбираются следующим образом: противоположная сторона к углу \(A\) обозначается буквой \(a\), противоположная сторона к углу \(B\) обозначается буквой \(b\), а противоположная сторона к углу \(C\) обозначается буквой \(c\). Следовательно, у нас есть следующие обозначения сторон:

\[\text{{сторона }} a \text{{ противоположна углу }} A\]
\[\text{{сторона }} b \text{{ противоположна углу }} B\]
\[\text{{сторона }} c \text{{ противоположна углу }} C\]

3. Для решения треугольника, мы должны использовать три известных элемента: две стороны и угол между ними или три стороны.

Теперь, когда мы знаем эти факты, мы можем приступить к решению задачи. У нас есть следующая информация:

\[b = 5, a = 80^\circ, B = 40^\circ\]

Для начала, давайте найдем третий угол \(C\). Мы знаем, что сумма углов треугольника равна \(180\) градусам, поэтому:

\[a + B + C = 180^\circ\]

Подставляем данные из условия:

\[80^\circ + 40^\circ + C = 180^\circ\]

Теперь находим \(C\):

\[120^\circ + C = 180^\circ\]

\[C = 180^\circ - 120^\circ\]

\[C = 60^\circ\]

Таким образом, мы нашли третий угол треугольника \(C = 60^\circ\).

Теперь, когда мы знаем все углы треугольника, давайте найдем остальные стороны \(a\) и \(c\).

Используя теорему синусов, мы можем найти сторону \(a\). Теорема синусов утверждает, что отношения между сторонами и синусами противолежащих углов в треугольнике равны:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{a}{\sin 80^\circ} = \frac{5}{\sin 40^\circ}\]

Переносим \(\sin 80^\circ\) влево:

\[a = 5 \cdot \frac{\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ}\]

Вычисляем значение выражения с помощью тригонометрических таблиц или калькулятора:

\[a = 5 \cdot 1.896\]

\[a \approx 9.48\]

Теперь осталось найти сторону \(c\). Мы можем использовать правило синусов снова:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{9.48}{\sin 80^\circ} = \frac{5}{\sin 40^\circ} = \frac{c}{\sin 60^\circ}\]

Переносим \(\sin 60^\circ\) вправо:

\[c = \frac{9.48}{\sin 80^\circ} \cdot \sin 60^\circ\]

Вычисляем значение выражения:

\[c \approx 8.67\]

Таким образом, мы получили, что \(a \approx 9.48\) и \(c \approx 8.67\).

Значения сторон треугольника равны: \(a \approx 9.48\), \(b = 5\) и \(c \approx 8.67\).