Как можно записать общее решение исходной системы, если дана система линейных уравнений с частным решением (1, 2

Sherhan

42

Для нахождения общего решения исходной системы нужно комбинировать частное решение и решения однородной системы.

Для начала, давайте запишем уравнение однородной системы. Вы сказали, что она имеет фундаментальную систему решений, состоящую из двух векторов \(a_1\) и \(a_2\). Пусть эти векторы равны \(\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix}\) и \(\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix}\) соответственно.

Теперь мы можем записать общее решение однородной системы в следующем виде:

\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix},\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные константы.

Теперь давайте найдем общее решение исходной системы. Мы знаем, что у нас есть частное решение системы, которое равно (1, 2, -1).

Таким образом, общее решение исходной системы будет выглядеть следующим образом:

\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{pmatrix},\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные константы.

Таким образом, мы объединили частное решение и решения однородной системы, чтобы получить общее решение исходной системы. Коэффициенты \(c_1\) и \(c_2\) позволяют нам учесть все возможные комбинации решений однородной системы.