Как найти антипроизводную в общем виде для следующих функций: 1) f(x) = 10x⁹ + 6x⁵ + 5x 2) f(x) = 3

Snezhok

53

Конечно! Давайте начнем с первой функции \(f(x) = 10x^9 + 6x^5 + 5x\). Мы хотим найти её антипроизводную. Чтобы это сделать, мы должны использовать правила дифференцирования функций.

1) Для первого слагаемого \(10x^9\) мы применяем правило для степенной функции, которое гласит: производная \(x^n\) равна \(n \cdot x^{n-1}\). В данном случае, производная \(10x^9\) равна \(10 \cdot 9x^{9-1} = 90x^8\).

2) Для второго слагаемого \(6x^5\) также применяем правило для степенной функции. Производная \(6x^5\) равна \(6 \cdot 5x^{5-1} = 30x^4\).

3) Для последнего слагаемого \(5x\) применяем правило для линейной функции, которое гласит: производная константы, умноженной на переменную, равна этой константе. В данном случае, производная \(5x\) равна \(5\).

Теперь, когда мы нашли производные для каждого из слагаемых, мы можем записать антипроизводную в общем виде. Антипроизводная функции \(f(x) = 10x^9 + 6x^5 + 5x\) будет следующей:

\[F(x) = \frac{10}{10}x^{9+1} + \frac{6}{6}x^{5+1} + \frac{5}{1}x^{1+1} + C\]

Объединяя слагаемые, получаем:

\[F(x) = x^{10} + x^6 + \frac{5}{2}x^2 + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная. Это и есть антипроизводная для функции \(f(x)\) в общем виде.

Теперь перейдем к второй функции \(f(x) = 3\). В данном случае, у функции отсутствуют переменные \(x\), поэтому ее производная равна нулю. Следовательно, антипроизводная функции \(f(x) = 3\) будет следующей:

\[F(x) = 3x + C\]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти антипроизводную в общем виде для данных функций. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!