Как найти целочисленные решения уравнения x^2-3xy+2y^2=7?

Zolotoy_Robin Gud

37

Хорошо, давайте найдем целочисленные решения уравнения \(x^2 - 3xy + 2y^2 = 7\).

Для начала заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Мы можем рассматривать его как квадратное уравнение с неизвестным \(x\) и коэффициентами \(a = 1\), \(b = -3y\), \(c = 2y^2 - 7\).

Чтобы решить квадратное уравнение в целых числах, нам нужно найти такие значения \(x\), при которых выражение \(x^2 - 3xy + 2y^2\) равно 7.

Для начала, мы заметим, что данное уравнение имеет пять особых случаев решений, которые нам нужно рассмотреть:

1) Если \(y = 0\), у нас остается уравнение \(x^2 = 7\). Поскольку мы ищем целочисленные решения, единственным решением будет \(x = \pm \sqrt{7}\). Однако, поскольку мы ищем только целочисленные решения, это уравнение не имеет целочисленных решений при \(y = 0\).

2) Если \(x = 0\), у нас остается уравнение \(2y^2 = 7\). По аналогичным причинам, это уравнение не имеет целочисленных решений при \(x = 0\).

3) Если \(y = 1\), получим уравнение \(x^2 - 3x + 2 = 7\). Приведем его к квадратному виду: \(x^2 - 3x - 5 = 0\). Решив это квадратное уравнение, мы получим два рациональных корня \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}\), но они не являются целыми числами. Таким образом, при \(y = 1\) уравнение также не имеет целочисленных решений.

4) Если \(y = -1\), у нас появляется уравнение \(x^2 + 3x + 2 = 7\), которое, приведя его к квадратному виду, можно записать в виде \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Решив его, мы найдем два рациональных корня \(x_1 = -\frac{3 + \sqrt{29}}{2}\) и \(x_2 = -\frac{3 - \sqrt{29}}{2}\), но они также не являются целыми числами. Таким образом, при \(y = -1\) уравнение не имеет целочисленных решений.

5) И наконец, пятый случай - это когда и \(x\) и \(y\) отличны от нуля. В этом случае мы можем разложить исходное уравнение на два бинома:

\((x - y)(x - 2y) = 7\).

Допустим, что \(d = x - y\) и \(e = x - 2y\). Тогда можно записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
d \cdot e = 7 \\
d - e = -y
\end{cases}
\]

Для нахождения целочисленных решений этой системы, мы можем перебирать возможные значения для \(d\) и \(e\) такие, что их произведение равно 7. Пара значений \(d = 7\) и \(e = 1\) будет подходить, так как их разность равна -6, а значит \(y = 6\).

Тогда, используя найденное значение \(y = 6\), мы можем найти \(x\) также из системы уравнений:

\[
\begin{cases}
d \cdot e = 7 \\
d - e = -6
\end{cases}
\]

Сложим оба уравнения и получим \(2d = 1\), что приводит к \(d = \frac{1}{2}\). Заметим, что мы получили нецелочисленное значение для \(d\), поэтому этот случай тоже не имеет целочисленных решений.

Таким образом, уравнение \(x^2 - 3xy + 2y^2 = 7\) не имеет ни одного целочисленного решения.