Как найти длину большей диагонали параллелограмма, если известны периметр (34 см), площадь (48 см²) и синус острого

Лось

40

Чтобы найти длину большей диагонали параллелограмма, нам понадобятся формулы, связывающие периметр, площадь и синус острого угла параллелограмма. Давайте начнем с поиска формулы для площади.

Если площадь параллелограмма равна 48 см², то мы можем записать следующее уравнение:

\[S = a \cdot h\]

где S - площадь параллелограмма, a - длина основания параллелограмма, h - высота параллелограмма.

Теперь нужно выразить длину основания через периметр, так как периметр известен (равен 34 см). Параллелограмм имеет две одинаковые стороны, поэтому длина основания равна половине периметра:

\[a = \frac{P}{2}\]

где P - периметр параллелограмма.

Теперь, введя это обозначение для длины основания, мы можем выразить площадь через периметр:

\[S = \frac{P}{2} \cdot h\]

Также, синус острого угла параллелограмма связан с высотой и длиной большей диагонали следующим образом:

\[\sin(\theta) = \frac{h}{d}\]

где \(\theta\) - острый угол параллелограмма, d - длина большей диагонали параллелограмма.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (P и h), нужно решить их систему. Подставим значение площади в уравнение для синуса острого угла:

\[\sin(\theta) = \frac{\frac{P}{2} \cdot h}{d}\]

Перегруппируем уравнение:

\[d = \frac{\frac{P}{2} \cdot h}{\sin(\theta)}\]

Теперь можем выразить h через d и \(\sin(\theta)\):

\[h = \frac{d \cdot \sin(\theta)}{\frac{P}{2}}\]

Теперь подставим это значение h обратно в уравнение для площади:

\[S = \frac{P}{2} \cdot \frac{d \cdot \sin(\theta)}{\frac{P}{2}}\]

Упростим:

\[S = d \cdot \sin(\theta)\]

Теперь мы можем найти значение длины большей диагонали (d) путем деления площади на синус острого угла:

\[d = \frac{S}{\sin(\theta)}\]

подставив известные значения площади (S = 48 см²) и синуса острого угла (\(\sin(\theta) = \frac{4}{5}\)), получим:

\[d = \frac{48}{\frac{4}{5}}\]

Для удобства расчета, упростим это выражение:

\[d = 48 \cdot \frac{5}{4}\]

Нам нужно найти значение d:

\[d = \frac{240}{4} = 60\]

Таким образом, большая диагональ параллелограмма равна 60 см.