Как найти длину третьей стороны треугольника и его площадь, если две его стороны равны 10 см и 12 см, а угол между ними

Zolotoy_Monet

66

Для нахождения длины третьей стороны треугольника и его площади, нам необходимо использовать теорему косинусов и формулу площади треугольника.

1. Найдем длину третьей стороны треугольника, используя теорему косинусов:
Согласно теореме косинусов, косинус угла между двумя сторонами треугольника равен отношению квадрата третьей стороны к сумме квадратов двух других сторон. Применяя данную формулу, получим:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (C)$$

Где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, С - угол между ними.

Подставляя известные значения, получим:

$$c^2={10}^2+{12}^2-2\cdot 10\cdot 12\cdot \cos ({120}^{\circ })$$

Вычислим значение выражения в скобках:

$$c^2={10}^2+{12}^2-2\cdot 10\cdot 12\cdot (-0.5)$$
$$c^2=100+144+120$$
$$c^2=364$$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину третьей стороны:

$$c=\sqrt{364}\approx 19.08\text{ см}$$

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет около 19.08 см.

2. Теперь найдем площадь треугольника, используя формулу площади треугольника:
Площадь треугольника можно найти, зная длины двух его сторон и синус угла между ними. Формула для вычисления площади треугольника:

$$S=\frac{1}{2}ab\sin (C)$$

Где S - площадь треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между ними.

Подставляя известные значения, получим:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot \sin ({120}^{\circ })$$

Вычислим значение синуса угла:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$S=60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$S=30\sqrt{3}$$

Таким образом, площадь треугольника составляет $30\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

В результате, длина третьей стороны треугольника составляет около 19.08 см, а его площадь равна $30\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.