Как найти длину третьей стороны треугольника и его площадь, если две его стороны равны 10 см и 12 см, а угол между ними

Zolotoy_Monet

66

Для нахождения длины третьей стороны треугольника и его площади, нам необходимо использовать теорему косинусов и формулу площади треугольника.

1. Найдем длину третьей стороны треугольника, используя теорему косинусов:
Согласно теореме косинусов, косинус угла между двумя сторонами треугольника равен отношению квадрата третьей стороны к сумме квадратов двух других сторон. Применяя данную формулу, получим:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, С - угол между ними.

Подставляя известные значения, получим:

\[c^2 = 10^2 + 12^2 - 2\cdot10\cdot12\cdot\cos(120^\circ)\]

Вычислим значение выражения в скобках:

\[c^2 = 10^2 + 12^2 - 2\cdot10\cdot12\cdot(-0.5)\]
\[c^2 = 100 + 144 + 120\]
\[c^2 = 364\]

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину третьей стороны:

\[c = \sqrt{364} \approx 19.08\text{ см}\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет около 19.08 см.

2. Теперь найдем площадь треугольника, используя формулу площади треугольника:
Площадь треугольника можно найти, зная длины двух его сторон и синус угла между ними. Формула для вычисления площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab\sin(C)\]

Где S - площадь треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между ними.

Подставляя известные значения, получим:

\[S = \frac{1}{2}\cdot10\cdot12\cdot\sin(120^\circ)\]

Вычислим значение синуса угла:

\[S = \frac{1}{2}\cdot10\cdot12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = 60\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S = 30\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника составляет \(30\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

В результате, длина третьей стороны треугольника составляет около 19.08 см, а его площадь равна \(30\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.