Как найти координаты центра сферы и её радиус, зная уравнение x2−4⋅x+y2−2⋅y+z2−4⋅z-3=0?

Akula

61

Для того чтобы найти координаты центра сферы и её радиус по заданному уравнению, нужно преобразовать его к каноническому виду уравнения сферы. Канонический вид имеет следующий вид: \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\), где \((a, b, c)\) - координаты центра сферы, а \(r\) - радиус.

Давайте пошагово преобразуем наше уравнение и найдем решение:

1. Сначала вынесем все константы из скобок и перегруппируем члены с переменными:
\((x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + (z^2 - 4z) - 3 = 0\)

2. Каждое выражение в скобках преобразуем к виду \((x - a)^2\), \((y - b)^2\) и \((z - c)^2\) путем добавления и вычитания определенных констант:

\((x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 4z + 4) - 3 - 4 - 1 - 4 = 0\)

3. Выполним преобразования внутри каждой скобки:
\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 - 12 = 0\)

Теперь у нас есть уравнение в каноническом виде. Мы видим, что центр сферы имеет координаты \((2, 1, 2)\), так как константы в скобках - это квадраты разности переменной и координаты центра.

Радиус сферы можно выразить из уравнения следующим образом:

\((x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 12\)

Теперь возведем оба выражения в уравнении в квадрат и приведем к общему знаменателю:

\(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 4z + 4 = 12\)

\(x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 - 4z = 3\)

Таким образом, радиус сферы составляет \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Итак, мы рассмотрели как найти координаты центра сферы и её радиус по заданному уравнению в каноническом виде. Получили, что центр сферы имеет координаты (2, 1, 2) и радиус равен 2\(\sqrt{3}\).