Как найти объем данного параллелепипеда с прямоугольными гранями и известными значениями его сторон, а=7, b=9

Yagnenka

51

Для начала, зададим известные значения сторон параллелепипеда: \(a = 7\) и \(b = 9\). Требуется найти объем этого параллелепипеда.

Объем параллелепипеда можно найти, умножив длину одной из его сторон на ширину другой стороны и на высоту. В данном случае, для нахождения объема параллелепипеда, нам необходимо знать третью сторону и высоту.

Так как известна только площадь поверхности параллелепипеда, мы можем использовать эту информацию для нахождения высоты. Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней.

Рассмотрим грани параллелепипеда. Плоскость, образованная основаниями параллелепипеда, имеет площадь, равную произведению сторон \(a\) и \(b\). Так как у параллелепипеда две пары одинаковых прямоугольных граней, площадь одной пары граней равна \(2ab\).

Информация о площади поверхности параллелепипеда нам дает следующее уравнение: \(2ab + 2bh + 2ah = 414\), где \(h\) - высота параллелепипеда.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(h\) и найти его значение. Для этого сгруппируем похожие слагаемые и вынесем общий множитель:

\[2(a+b)h + 2ab = 414.\]

Поделим обе части уравнения на \(2(a+b)\):

\[h + \frac{{2ab}}{{2(a+b)}} = \frac{{414}}{{2(a+b)}}.\]

Раскроем скобки:

\[h + \frac{{ab}}{{a+b}} = \frac{{414}}{{2(a+b)}}.\]

Домножим обе части уравнения на \((a+b)\):

\[h(a+b) + ab = \frac{{414}}{{2}}.\]

Теперь подставим известные значения \(a = 7\) и \(b = 9\):

\[7h + 9 \cdot 7 = \frac{{414}}{{2}}.\]

Вычислим правую часть уравнения:

\[7h + 63 = 207.\]

Вычтем 63 из обеих частей:

\[7h = 207 - 63 = 144.\]

Разделим обе части на 7:

\[h = \frac{{144}}{{7}} = 20\frac{{4}}{{7}}.\]

Таким образом, высота параллелепипеда равна \(20\frac{{4}}{{7}}\).

Теперь, когда у нас есть значения всех сторон и высоты, мы можем вычислить объем параллелепипеда:

\[V = a \cdot b \cdot h = 7 \cdot 9 \cdot 20\frac{{4}}{{7}}.\]

Раскроем дробную часть:

\[V = 7 \cdot 9 \cdot \left(20 + \frac{{4}}{{7}}\right).\]

Вычислим значение в скобках:

\[V = 7 \cdot 9 \cdot \left(\frac{{140}}{{7}} + \frac{{4}}{{7}}\right) = 7 \cdot 9 \cdot \frac{{144}}{{7}}.\]

Упростим выражение, сократив 7 в числителе и знаменателе:

\[V = 9 \cdot 144 = 1296.\]

Таким образом, объем этого параллелепипеда составляет 1296 кубических единиц.