Как найти общее решение для уравнения dy/dx × tg(x) - y

Полярная_2575

63

Чтобы найти общее решение для уравнения \(\frac{{dy}}{{dx}} \times \tan(x) - y = 0\), мы можем использовать метод, называемый методом разделяющихся переменных.

1. Начнем с переписывания уравнения в виде \(\frac{{dy}}{{dx}} = y \times \tan(x)\).

2. Разделим оба члена уравнения, чтобы выразить \(y\) отдельно и \(x\) отдельно, разместив их по разные стороны уравнения. Таким образом, мы имеем: \(\frac{{dy}}{{y}} = \tan(x) \,dx\).

3. Теперь возьмем интеграл от обеих сторон уравнения. Интеграл от \(\frac{{dy}}{{y}}\) будет \(\ln|y|\), а интеграл от \(\tan(x) \,dx\) будет \(-\ln|\cos(x)| + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

4. Объединим полученные интегралы и получим \(\ln|y| = -\ln|\cos(x)| + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

5. Теперь рассмотрим выражение \(-\ln|\cos(x)| + C\). Мы можем преобразовать его, чтобы упростить решение. Воспользуемся следующим идентичностью: \(\ln|a| - \ln|b| = \ln|\frac{{a}}{{b}}|\). Применяя эту идентичность к нашему выражению, получим \(\ln|\frac{{y}}{{\cos(x)}}| = C\).

6. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от логарифма. Экспонента \(\ln\) - это обратная функция логарифма, поэтому они взаимно уничтожаются. Получим \(\frac{{y}}{{\cos(x)}} = e^C\).

7. Вспомним, что \(e^C\) также является произвольной постоянной, так как мы любой константе в подходящем масштабе можем присвоить значение 1 и она не изменит решение.

8. Для удобства перепишем \(\frac{{y}}{{\cos(x)}} = e^C\) как \(y = e^C \cdot \cos(x)\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Вот и общее решение для уравнения \(\frac{{dy}}{{dx}} \times \tan(x) - y = 0\) - это \(y = e^C \cdot \cos(x)\), где \(C\) - произвольная постоянная. Это уравнение задает семейство функций, удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению.