Как найти поток вектора напряжённости точечного заряда q через поверхность сферы радиуса r, центр которой находится

Добрый_Лис_9566

57

Хорошо, давайте рассмотрим вашу задачу. Для нахождения потока вектора напряженности точечного заряда \( q \) через поверхность сферы радиуса \( r \), центр которой находится на расстоянии \( 2r \) от заряда, можно применить теорему Гаусса для электростатики. Теорема Гаусса связывает поток электрического поля через замкнутую поверхность с электрическим зарядом внутри этой поверхности.

Для начала, давайте определимся с выбором замкнутой поверхности. Пусть наша замкнутая поверхность - это сфера с радиусом \( r \), так как именно эта поверхность описывает расстояние до заряда \( q \).

Теперь применим теорему Гаусса. Она гласит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен электрическому заряду, разделенному на электрическую постоянную (\( \varepsilon_0 \)).

Формально, поток вектора напряженности электрического поля (\( \Phi \)) можно выразить следующим образом:

\[ \Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} \]

Где \( \vec{E} \) - вектор напряженности электрического поля, \( d\vec{A} \) - элемент площадки поверхности, а интеграл берется по всей поверхности.

Поскольку наша поверхность является сферической, вектор напряженности будет направлен по радиусу сферы и будет иметь одинаковую величину на всей поверхности сферы.

Таким образом, можно записать \( \vec{E} \) как \( E \cdot \hat{r} \), где \( \hat{r} \) - единичный вектор в направлении радиуса сферы, а \( E \) - величина вектора напряженности.

Теперь можем выразить поток по определению:

\[ \Phi = \int \vec{E} \cdot d\vec{A} \]

Разделим поверхность сферы на маленькие площадки \( dA \), каждая из которых будет перпендикулярна вектору напряженности \( \vec{E} \). Тогда можно записать:

\[ \Phi = \int E \cdot dA \]

Поскольку вектор напряженности \( \vec{E} \) постоянен на всей поверхности сферы и параллелен элементу площади \( dA \), можно вынести его за знак интеграла:

\[ \Phi = E \int dA \]

Заметим, что интеграл от \( dA \) по всей поверхности сферы соответствует площади поверхности сферы, что равно \( 4 \pi r^2 \). Подставим это значение в нашу формулу для потока:

\[ \Phi = E \cdot 4 \pi r^2 \]

Теперь, согласно теореме Гаусса, поток \( \Phi \) равен электрическому заряду \( q \), разделенному на электрическую постоянную \( \varepsilon_0 \):

\[ \Phi = \frac{q}{\varepsilon_0} \]

Таким образом, у нас есть два выражения для потока, равных друг другу:

\[ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \]

Теперь можем выразить величину вектора напряженности \( E \):

\[ E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \]

Итак, мы нашли величину вектора напряженности \( E \) для точечного заряда \( q \) на расстоянии \( r \) от центра сферы, используя теорему Гаусса.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как найти поток вектора напряженности точечного заряда через поверхность сферы радиуса \( r \)!