Как найти производную первого и второго порядка функции y=7x-ctgy?

Yarus

20

Для начала, мы определим производную функции \(y=7x-\ctg y\) первого порядка.

Шаг 1:
Для того чтобы найти производную функции, нам необходимо применить правило дифференцирования для каждого члена выражения.

Для первого слагаемого \(7x\) производная равна \(7\), так как производная переменной \(x\) равна единице.

Для второго слагаемого \(-\ctg y\) производная требует более детального рассмотрения. Мы должны использовать цепное правило дифференцирования.

Шаг 2:
Применяя цепное правило дифференцирования, мы должны сначала найти производную функции \(\ctg y\) по переменной \(y\), а затем умножить ее на производную переменной \(y\).

Мы знаем, что производная функции \(\ctg y\) по переменной \(y\) равна \(-\csc^2 y\). Таким образом, первая часть цепного правила дифференцирования даст нам \(-\csc^2 y\).

Шаг 3:
Теперь мы домножаем полученный результат на производную переменной \(y\), которую мы обозначим через \(y"\).

Итак, вот пошаговое решение для нахождения производной первого порядка функции \(y=7x-\ctg y\):

\[
\begin{align*}
y &= 7x - \ctg y \\
y" &= 7 - (-\csc^2 y) \cdot y"
\end{align*}
\]

Перепишем эти выражения с учетом поиска производной первого порядка:

\[
\begin{align*}
y" &= 7 + \csc^2 y \cdot y"
\end{align*}
\]

Это и есть производная первого порядка функции \(y=7x-\ctg y\).

Теперь давайте найдем производную второго порядка функции \(y=7x-\ctg y\).

Шаг 4:
Для нахождения производной второго порядка функции нам нужно взять производную первого порядка \(y"\) и снова дифференцировать ее.

Применяя правила дифференцирования к производной первого порядка \(y"\), мы получим следующее:

\[
\begin{align*}
y"" &= (\csc^2 y \cdot y")"
\end{align*}
\]

Шаг 5:
Теперь нам нужно вычислить производную выражения \(\csc^2 y \cdot y"\).

Для этого мы используем правило дифференцирования произведения функций:

\[
\begin{align*}
(\csc^2 y \cdot y")" &= (\csc^2 y)" \cdot y" + \csc^2 y \cdot (y")"
\end{align*}
\]

Мы уже знаем, что производная функции \(\csc^2 y\) равна \(-2\csc y \cdot \cot y\). Таким образом, первое слагаемое будет равно \((-2\csc y \cdot \cot y) \cdot y"\).

Кроме того, мы также знаем, что производная \(y"\) соответствует производной первого порядка \(y"\), то есть \(y"" = -2\csc y \cdot \cot y \cdot y" + \csc^2 y \cdot y""\).

Вот искомая производная второго порядка функции \(y=7x-\ctg y\):

\[
\begin{align*}
y"" &= -2\csc y \cdot \cot y \cdot y" + \csc^2 y \cdot y""
\end{align*}
\]

Надеюсь, данное пошаговое решение поможет вам лучше понять, как найти производную первого и второго порядка функции \(y=7x-\ctg y\). Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!