Как найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник STR, зная, что сторона ST равна 5 м и сторона

Veselyy_Zver

18

Для начала, нам необходимо рассмотреть свойства равнобедренного треугольника и радиуса окружности, вписанной в него.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. В данном случае, сторона ST и сторона RS равны. Обозначим длину каждой из этих сторон как x.

Теперь давайте обратимся к радиусу окружности, вписанной в равнобедренный треугольник. Радиус окружности является расстоянием от центра окружности до любой из ее сторон. Обозначим радиус окружности как r.

И теперь мы можем приступить к решению данной задачи.

1. Вспоминаем свойства треугольника STR:
- Сторона ST равна 5 м
- Сторона RS равна x

2. Заметим, что основание треугольника STR — сторона RS. Основание равнобедренного треугольника является диаметром вписанной окружности. Значит, длина основания равна удвоенному радиусу окружности:
RS = 2r

3. Также, согласно свойству равнобедренного треугольника, проведенный из вершины треугольника STR к основанию треугольника (перпендикуляр) делит основание тремя частями, где средняя часть равна радиусу окружности. Обозначим эту часть как h.
RS = 2h

4. Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике STR, где ST является гипотенузой, а RS и h — катетами:
ST^2 = RS^2 + h^2

5. Подставляем значения, известные нам:
5^2 = (2r)^2 + h^2

6. Упростим уравнение:
25 = 4r^2 + h^2

7. Теперь нам нужно выразить h через r, чтобы у нас осталось только одно неизвестное значение. Мы можем воспользоваться тем фактом, что площадь треугольника STR равна произведению его высоты на половину основания:
Площадь треугольника STR = 1/2 * RS * h
Площадь треугольника STR = 1/2 * 2r * h
Площадь треугольника STR = r * h

8. Найдем площадь треугольника STR. Для этого воспользуемся формулой Герона, где a, b и c — стороны треугольника:
s = (a + b + c) / 2
Площадь треугольника STR = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
Мы знаем, что a = b = x и c = ST
s = (x + x + 5) / 2
s = (2x + 5) / 2
Площадь треугольника STR = √[(2x+5)/2 * ((2x+5)/2-x)^2]

9. Подставляем формулу для площади треугольника STR в уравнение:
√[(2x+5)/2 * ((2x+5)/2-x)^2] = r * h

10. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(2x+5)/2 * ((2x+5)/2-x)^2 = r^2 * h^2

11. Раскроем скобки и упростим уравнение:
(2x+5)/2 * (-(3x+5)/2)^2 = r^2 * h^2

12. Упростим еще больше:
-(2x+5)*((3x+5)/2)^2 = r^2 * h^2

13. Получим выражение для h^2:
h^2 = -((2x+5)*((3x+5)/2)^2) / r^2

14. Теперь, чтобы выразить h через r, возьмем квадратный корень от обеих частей:
h = √[-((2x+5)*((3x+5)/2)^2) / r^2]

15. Подставим полученное значение h в уравнение из пункта 6:
25 = 4r^2 + [-((2x+5)*((3x+5)/2)^2) / r^2]

16. Упростим уравнение:
25r^2 = 4r^4 - ((2x+5)*((3x+5)/2)^2)

17. Приведем уравнение к квадратному виду:
4r^4 - 25r^2 + ((2x+5)*((3x+5)/2)^2) = 0

18. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно r. Мы можем решить его, используя дискриминант:
D = (-25)^2 - 4 * 4 * ((2x+5)*((3x+5)/2)^2)

19. Рассмотрим два случая: когда дискриминант больше или равен нулю и когда дискриминант отрицательный.

20. Если дискриминант больше или равен нулю, решим уравнение:
r1 = (-(-25) + √D)/(2*4)
r2 = (-(-25) - √D)/(2*4)

21. Если дискриминант отрицательный, значит, радиус невещественный и решения нет.

Таким образом, используя указанные шаги, можно найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник STR, зная длины его сторон.