Как найти решение и ответ уравнения (6+2i)/(3-7i) - (2+3i)/(2+5i)?

Звездопад_Фея

12

Для решения данной задачи необходимо использовать основные правила для работы с комплексными числами. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с выражения \(\frac{{6+2i}}{{3-7i}} - \frac{{2+3i}}{{2+5i}}\).

2. Для удобства, давайте представим дроби в виде общего знаменателя.

3. Общим знаменателем будет произведение \((3-7i)(2+5i)\), которое можно раскрыть, используя правило распределительного закона.

4. Раскроем первую дробь:
\[\frac{{6+2i}}{{3-7i}} = \frac{{6+2i}}{{3}} \cdot \frac{{1}}{{1-7i/3}}\]
\[\frac{{6+2i}}{{3-7i}} = 2 + \frac{{2i}}{{3}} \cdot \frac{{1}}{{1-7i/3}}\]

5. Раскроем вторую дробь:
\[\frac{{2 + 3i}}{{2 + 5i}} = \frac{{2 + 3i}}{{2}} \cdot \frac{{1}}{{1 + 5i/2}}\]
\[\frac{{2 + 3i}}{{2 + 5i}} = 1 + \frac{{3i}}{{2}} \cdot \frac{{1}}{{1 + 5i/2}}\]

6. Теперь приведем общие знаменатели и объединим дроби.
\[\frac{{6+2i}}{{3-7i}} - \frac{{2+3i}}{{2+5i}} = (2 + \frac{{2i}}{{3}} \cdot \frac{{1}}{{1-7i/3}}) - (1 + \frac{{3i}}{{2}} \cdot \frac{{1}}{{1 + 5i/2}})\]

7. Упростим выражение в скобках, используя правила работы с комплексными числами.
\[2 + \frac{{2i}}{{3}} \cdot \frac{{1}}{{1-7i/3}} = 2 + \frac{{2i}}{{3}} \cdot \frac{{3}}{{3-7i}} = 2 + \frac{{2i}}{{3}} \cdot \frac{{3}}{{3-7i}} \cdot \frac{{3+7i}}{{3+7i}} = 2 + \frac{{6i}}{{3(3+7i)}}\]

8. Таким же образом упростим вторую дробь.
\[1 + \frac{{3i}}{{2}} \cdot \frac{{1}}{{1 + 5i/2}} = 1 + \frac{{3i}}{{2}} \cdot \frac{{2}}{{2+5i}} = 1 + \frac{{3i}}{{2}} \cdot \frac{{2}}{{2+5i}} \cdot \frac{{2-5i}}{{2-5i}} = 1 + \frac{{6i}}{{2(2-5i)}}\]

9. Теперь заметим, что оба знаменателя в получившихся дробях совпадают с общим знаменателем \((3-7i)(2+5i)\). Объединим числители дробей и запишем результат:
\[\frac{{6+2i}}{{3-7i}} - \frac{{2+3i}}{{2+5i}} = 2 + \frac{{6i}}{{3(3+7i)}} - 1 - \frac{{6i}}{{2(2-5i)}} = 1 + \frac{{6i}}{{3(3+7i)}} - \frac{{6i}}{{2(2-5i)}}\]

10. Наконец, продолжим упрощение выражения:
\[\frac{{6i}}{{3(3+7i)}} - \frac{{6i}}{{2(2-5i)}} = \frac{{2i}}{{3+7i}} - \frac{{3i}}{{2-5i}}\]

11. Приведем дроби к общему знаменателю, используя технику умножения на сопряженное число.
\[\frac{{2i}}{{3+7i}} - \frac{{3i}}{{2-5i}} = \frac{{2i(3-7i)}}{{(3+7i)(3-7i)}} - \frac{{3i(2+5i)}}{{(2-5i)(2+5i)}}\]
\[\frac{{2i(3-7i)}}{{(3+7i)(3-7i)}} - \frac{{3i(2+5i)}}{{(2-5i)(2+5i)}} = \frac{{6i-14i^2}}{{3^2 - (7i)^2}} - \frac{{6i + 15i^2}}{{2^2 - (5i)^2}}\]

12. Заменим \(i^2\) на \(-1\):
\[\frac{{6i-14i^2}}{{3^2 - (7i)^2}} - \frac{{6i + 15i^2}}{{2^2 - (5i)^2}} = \frac{{6i+14}}{{9 - 49}} - \frac{{6i - 15}}{{4 - 25}}\]
\[\frac{{6i+14}}{{9 - 49}} - \frac{{6i - 15}}{{4 - 25}} = \frac{{6i+14}}{{-40}} - \frac{{6i - 15}}{{-21}}\]

13. Теперь сократим каждое слагаемое:
\[\frac{{6i+14}}{{-40}} - \frac{{6i - 15}}{{-21}} = -\frac{{3i+7}}{{20}} + \frac{{2i - 5}}{{7}}\]

14. Объединим две дроби:
\[-\frac{{3i+7}}{{20}} + \frac{{2i - 5}}{{7}} = \frac{{7(2i-5) - 20(3i+7)}}{{20 \cdot 7}}\]

15. Упростим числитель:
\[\frac{{7(2i-5) - 20(3i+7)}}{{20 \cdot 7}} = \frac{{14i - 35 - 60i - 140}}{{140}}\]
\[\frac{{14i - 35 - 60i - 140}}{{140}} = \frac{{-46 - 46i}}{{140}}\]

16. Теперь можно сократить получившуюся дробь на общий множитель:
\[\frac{{-46 - 46i}}{{140}} = \frac{{-1 - i}}{{5}}\]

Таким образом, решение и ответ на уравнение \(\frac{{6+2i}}{{3-7i}} - \frac{{2+3i}}{{2+5i}}\) равен \(-\frac{{1 - i}}{{5}}\).