Как найти решение уравнения tg(x-pi/4)=sinx-cosx?

Лариса_6266

9

Хорошо, рассмотрим задачу. Нам необходимо найти решение уравнения \(\tan(x-\frac{\pi}{4})=\sin(x)-\cos(x)\).

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение, чтобы упростить его. Мы можем использовать тригонометрические тождества для этого.

Так как \(\tan(x-\frac{\pi}{4})\) - это тангенс разности углов, мы можем воспользоваться формулой разности тангенсов:
\[\tan(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan(x)-\tan(\frac{\pi}{4})}{1+\tan(x)\tan(\frac{\pi}{4})}\]

Заметим, что \(\tan(\frac{\pi}{4})=1\), поэтому наше уравнение примет вид:
\[\frac{\tan(x)-1}{1+\tan(x)}=\sin(x)-\cos(x)\]

Далее, давайте выразим \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) через \(\tan(x)\), использовав тригонометрические свойства. Зафиксируем одну из функций и найдем вторую.

Для начала, выразим \(\sin(x)\) через \(\tan(x)\) и \(\cos(x)\). Мы знаем, что \(\sin(x)=\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}\).

Теперь подставим это в уравнение и преобразуем его еще раз:
\[\frac{\tan(x)-1}{1+\tan(x)}=\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}-\cos(x)\]

Преобразования:

1. Умножим обе части уравнения на \(1+\tan(x)\), чтобы избавиться от дробей:
\[(\tan(x)-1)\sqrt{1+\tan^2(x)}=\tan(x)(1+\tan(x))-\cos(x)(1+\tan(x))\]

2. Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[\tan(x)\sqrt{1+\tan^2(x)}-\sqrt{1+\tan^2(x)}=\tan(x)+\tan^2(x)-\cos(x)-\cos(x)\tan(x)\]

3. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[\tan(x)\sqrt{1+\tan^2(x)}-\tan(x)-\tan^2(x)+\cos(x)+\cos(x)\tan(x)-\sqrt{1+\tan^2(x)}=0\]

4. Упростим уравнение. Обратим внимание, что \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), поэтому \(\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}\). Подставим это в уравнение:
\[\tan(x)\sqrt{1+\tan^2(x)}-\tan(x)-\tan^2(x)+\sqrt{1-\sin^2(x)}+\sqrt{1-\sin^2(x)}\tan(x)-\sqrt{1+\tan^2(x)}=0\]

5. Объединим слагаемые и упростим уравнение возможно дальше, чтобы выразить корень в равенстве:
\[\tan(x)\sqrt{1+\tan^2(x)}-\tan^2(x)+\sqrt{1-\sin^2(x)}+\sqrt{1-\sin^2(x)}\tan(x)-\sqrt{1+\tan^2(x)}=0\]

Теперь мы получили уравнение, которое должно быть проще для решения.

Продолжение следует.