Каков угол, образованный апофемой с плоскостью основания в правильной четырёхугольной пирамиде, если её высота равна

Евгеньевна

49

Для решения данной задачи о требуется использовать геометрические свойства правильной четырехугольной пирамиды.

Первым шагом определим апофему пирамиды. Апофема - это отрезок, проведенный от вершины пирамиды до середины одной из сторон ее основания и перпендикулярный этой стороне.

Используя свойства правильной пирамиды, высоту и сторону основания, мы можем рассчитать апофему пирамиды.

Для начала, найдем радиус вписанной окружности основания пирамиды. Радиус вписанной окружности в четырехугольнике равен половине длины диагонали.

Диагональ равнобедренной трапеции, образованной основанием пирамиды, является медианой и равна половине суммы диагоналей этой трапеции. Так как правильная пирамида - это четырехугольник, у которого все стороны и диагонали равны, то длина диагонали равна 24 см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности, используя формулу для радиуса вписанной окружности в четырехугольнике:

\[r = \frac{{d}}{{2}} = \frac{{24}}{{2}} = 12\ см\]

Далее, чтобы найти апофему, можно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали основания, радиусом вписанной окружности и апофемой пирамиды:

\[h^2 = r^2 + a^2\]

где \(h\) - высота пирамиды, \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - апофема пирамиды.

Подставим известные значения и решим уравнение относительно апофемы:

\[(12\sqrt{3})^2 = 12^2 + a^2\]
\[432 = 144 + a^2\]
\[a^2 = 432 - 144\]
\[a^2 = 288\]
\[a = \sqrt{288}\]
\[a = 12\sqrt{2}\ см\]

Таким образом, апофема пирамиды равна \(12\sqrt{2}\ см\).

Теперь, для определения угла, образованного апофемой с плоскостью основания, воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

Обозначим угол, образованный апофемой с плоскостью основания, как \(\alpha\). Тогда для нахождения этого угла можно использовать:

\[\tan(\alpha) = \frac{h}{a}\]

Подставим известные значения:

\[\tan(\alpha) = \frac{12\sqrt{3}}{12\sqrt{2}}\]

Упростим эту дробь:

\[\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Теперь найдем сам угол, взяв арктангенс от полученного значения:

\[\alpha = \arctan\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\]

Вычислив этот угол, получаем:

\[\alpha \approx 56.31^\circ\]

Итак, угол, образованный апофемой с плоскостью основания, составляет примерно \(56.31^\circ\).