Как найти точку минимума функции y=x*квадратный корень из x-3x+1?

Moroznaya_Roza

31

Чтобы найти точку минимума функции \(y = x \sqrt{x} - 3x + 1\), нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю, а затем решить получившееся уравнение.

Шаг 1: Найдем производную функции. Так как функция содержит квадратный корень, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule) для нахождения производной.
Для удобства, мы можем представить функцию в виде \(y = x^\frac{3}{2} - 3x + 1\).
Производная функции будет:
\[y" = \frac{d}{dx}(x^\frac{3}{2}) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(1)\]
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
\[y" = \frac{3}{2}x^\frac{1}{2} - 3\]
\[y" = \frac{3\sqrt{x}}{2} - 3\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения критических точек. Подставим \(y" = 0\) в уравнение:
\[\frac{3\sqrt{x}}{2} - 3 = 0\]
\[\frac{3\sqrt{x}}{2} = 3\]
\[\sqrt{x} = 2\]
\[x = 4\]

Шаг 3: Для подтверждения, что точка \(x = 4\) является точкой минимума, проведем вторую производную и проверим ее значение.
Возьмем вторую производную функции:
\[y"" = \frac{d}{dx}(\frac{3\sqrt{x}}{2} - 3)\]
\[y"" = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2}x^\frac{1}{2} - 3)\]
\[y"" = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}) - \frac{d}{dx}(3)\]
\[y"" = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}}\]
\[y"" = \frac{3}{4\sqrt{x}}\]

Подставим \(x = 4\):
\[y"" = \frac{3}{4\sqrt{4}} = \frac{3}{8}\]

Так как значение второй производной положительно (\(y"" > 0\)), мы можем заключить, что точка \(x = 4\) является точкой минимума функции.

Итак, точка минимума функции \(y = x\sqrt{x} - 3x + 1\) находится в точке \((4, f(4))\) или \((4, -7)\).