Яку довжину прямокутника в метрах потрібно обчислити, щоб площа ділянки була найбільшою?

Паук

30

Чтобы решить эту задачу, мы должны знать формулу площади прямоугольника и использовать метод дифференциального исчисления для определения, при какой длине стороны площадь будет максимальной. Давайте начнем!

Формула для площади прямоугольника:

\[Площадь = длина \times ширина.\]

Обозначим длину прямоугольника через \(x\) (в метрах) и ширину через \(y\) (также в метрах).

Так как у нас есть только одно условие - максимизация площади делянки, которая должна быть максимальной, мы можем выразить \(y\) через \(x\) с помощью данного условия.

Поскольку площадь равна длине умноженной на ширину, мы можем записать это как:

\[Площадь = x \times y.\]

Теперь, если мы хотим найти максимальную площадь делянки, нам нужно выразить ширину \(y\) через \(x\). Мы знаем, что площадь остается постоянной, поэтому:

\[Площадь = x \times y = константа.\]

Давайте обозначим эту константу как \(c\). Тогда:

\[x \times y = c.\]

Теперь мы можем выразить \(y\) через \(x\):

\[y = \frac{c}{x}.\]

С таким обозначением мы можем записать формулу площади как функцию только от одной переменной:

\[Площадь(x) = x \times \frac{c}{x}.\]

Далее мы можем произвести дифференцирование этой функции и найти значения \(x\), при которых площадь будет максимальной.

\[Площадь(x) = c.\]

Продифференцируем это выражение по \(x\):

\[\frac{d}{dx}[Площадь(x)] = \frac{d}{dx}[c].\]

Обратите внимание, что мы дифференцируем только по \(x\), так как предполагаем, что \(c\) является константой.

Теперь давайте найдем производную функции площади по \(x\):

\[\frac{d}{dx}[Площадь(x)] = \frac{d}{dx}[x \times \frac{c}{x}].\]

Используя правило дифференцирования для произведения функций и частного функций, получим:

\[\frac{d}{dx}[Площадь(x)] = \frac{d}{dx}[x] \times \frac{c}{x} + x \times \frac{d}{dx}[\frac{c}{x}].\]

Упрощая это выражение, получим:

\[\frac{d}{dx}[Площадь(x)] = \frac{c}{x} - \frac{c}{x^2} = \frac{c(x - 1)}{x^2}.\]

Теперь нам нужно найти, при каком значении \(x\) эта производная равна нулю, так как этот момент будет представлять максимум площади. То есть:

\[\frac{c(x - 1)}{x^2} = 0.\]

Так как \(c\) является ненулевой константой, уравнение будет иметь решение \(x = 1\).

Итак, мы нашли, что при \(x = 1\) площадь делянки будет максимальной.

Теперь мы можем использовать это значение и выразить ширину \(y\):

\[y = \frac{c}{x} = \frac{c}{1} = c.\]

Таким образом, для достижения максимальной площади делянки, длина прямоугольника должна быть равна \(1\) метру, а ширина будет равна \(c\).