Как найти точку на оси z, которая находится на равном расстоянии от точек a (-2,0,3) и b (0,2,-1)?

Yachmenka

9

Чтобы найти точку на оси \( z \), которая находится на равном расстоянии от точек \( a(-2,0,3) \) и \( b(0,2,-1) \), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула для расстояния между двумя точками \( P(x_1, y_1, z_1) \) и \( Q(x_2, y_2, z_2) \) в трехмерном пространстве имеет вид:

\[ d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}} \]

Так как мы ищем точку на оси \( z \), можно предположить, что ее координаты будут \( (0, 0, z) \).

Теперь давайте запишем формулу расстояния между точками \( a \) и \( b \) с использованием координат \( (0, 0, z) \) для неизвестной точки:

\[ d_a = \sqrt{{(0 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (z - 3)^2}} \]

\[ d_b = \sqrt{{(0 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (z - (-1))^2}} \]

Так как точка находится на равном расстоянии от точек \( a \) и \( b \), расстояние \( d_a \) между точкой \( a \) и искомой точкой должно быть равно расстоянию \( d_b \) между точкой \( b \) и искомой точкой.

Итак, мы можем записать следующее уравнение:

\[ d_a = d_b \]

\[ \sqrt{{(-2)^2 + (z - 3)^2}} = \sqrt{{2^2 + (z + 1)^2}} \]

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

\[ (-2)^2 + (z - 3)^2 = 2^2 + (z + 1)^2 \]

\[ 4 + z^2 - 6z + 9 = 4 + z^2 + 2z + 1 \]

Сокращаем одинаковые слагаемые:

\[ -6z + 13 = 2z + 5 \]

Теперь переносим все слагаемые с переменной \( z \) на одну сторону уравнения:

\[ -6z - 2z = 5 - 13 \]

\[ -8z = -8 \]

\[ z = \frac{{-8}}{{-8}} \]

\[ z = 1 \]

Итак, точка на оси \( z \), которая находится на равном расстоянии от точек \( a(-2,0,3) \) и \( b(0,2,-1) \), является \( (0, 0, 1) \).