Как найти уравнение касательной к окружности?

Zmeya

24

Конечно! Чтобы найти уравнение касательной к окружности, нам понадобятся две важные информации: координаты точки касания и радиус окружности.

Предположим, у нас есть окружность с центром в точке \((x_0, y_0)\) и радиусом \(r\). А точка касания лежит в точке \((x_1, y_1)\).

Шаг 1: Найдем уравнение прямой, проходящей через центр окружности и точку касания. Используем формулу наклона прямой:
\[m = \frac{{y_1 - y_0}}{{x_1 - x_0}}\]

Шаг 2: Теперь, зная значение наклона \(m\), можем получить уравнение касательной в общем виде. Уравнение касательной имеет вид:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

Шаг 3: Однако, нам нужно привести это уравнение к более привычному виду, т.е. в явной форме уравнения. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[y = mx - mx_1 + y_1\]

И это и есть уравнение касательной к окружности.

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания. Пусть у нас есть окружность с центром в точке (2, 3) и радиусом 5. Мы хотим найти уравнение касательной в точке (4, 6).

Шаг 1: Найдем наклон прямой:
\[m = \frac{{6 - 3}}{{4 - 2}} = \frac{3}{2}\]

Шаг 2: Подставим значение наклона и координаты точки в уравнение:
\[y - 6 = \frac{3}{2}(x - 4)\]

Шаг 3: Раскроем скобки:
\[y = \frac{3}{2}x - 6 + 6 = \frac{3}{2}x\]

И это и есть уравнение касательной к окружности.

Надеюсь, это поможет вам понять, как найти уравнение касательной к окружности. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!