Как определить, является ли заданная зависимость функциональной, если каждому целому числу сопоставлен его остаток

Yuzhanin

30

Чтобы определить, является ли заданная зависимость функциональной, нам необходимо проверить, существует ли только одно значение остатка при делении каждого целого числа на заданное целое число \(a\).

Для этого, давайте рассмотрим каждое значение \(a\) по-очереди.

1. При \(a = 5\):
Пусть \(x\) - целое число. Чтобы найти остаток при делении \(x\) на 5, мы можем записать \(x\) в виде \(x = 5q + r\), где \(q\) - частное, а \(r\) - остаток. Обратите внимание, что \(r\) должно быть меньше 5. Если мы найдем только одно значение \(r\) для каждого целого числа \(x\), то это будет означать, что заданная зависимость функциональная.

Пример:
Для \(x = 10\) - \(x = 5 \cdot 2 + 0\) (остаток 0)
Для \(x = 17\) - \(x = 5 \cdot 3 + 2\) (остаток 2)
Для \(x = -3\) - \(x = 5 \cdot (-1) + 2\) (остаток 2)

Мы видим, что для каждого целого числа \(x\) соответствующие остатки при делении на 5 - это 0, 1, 2, 3 или 4. Значит, зависимость функциональная при \(a = 5\).

2. При \(a = 8\):
Поступим аналогичным образом:
Пример:
Для \(x = 15\) - \(x = 8 \cdot 1 + 7\) (остаток 7)
Для \(x = 22\) - \(x = 8 \cdot 2 + 6\) (остаток 6)
Для \(x = -10\) - \(x = 8 \cdot (-2) + 6\) (остаток 6)

Мы видим, что для каждого целого числа \(x\) соответствующие остатки при делении на 8 - это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Зависимость функциональная при \(a = 8\).

3. При \(a = 11\):
Пример:
Для \(x = 15\) - \(x = 11 \cdot 1 + 4\) (остаток 4)
Для \(x = 23\) - \(x = 11 \cdot 2 + 1\) (остаток 1)
Для \(x = -5\) - \(x = 11 \cdot (-1) + 6\) (остаток 6)

Мы видим, что для каждого целого числа \(x\) соответствующие остатки при делении на 11 - это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10. Зависимость функциональная при \(a = 11\).

4. При \(a = -3\):
Пример:
Для \(x = 6\) - \(x = (-3) \cdot (-2) + 0\) (остаток 0)
Для \(x = 14\) - \(x = (-3) \cdot (-5) + 1\) (остаток 1)
Для \(x = -7\) - \(x = (-3) \cdot 2 + (-1)\) (остаток -1)

Мы видим, что для каждого целого числа \(x\) соответствующие остатки при делении на -3 - это 0, 1 или -1. Зависимость функциональная при \(a = -3\).

Область определения этой зависимости - все целые числа, так как мы рассматриваем каждое целое число \(x\). Область значений зависит от значения \(a\):

- При \(a = 5\) - область значений: \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\)
- При \(a = 8\) - область значений: \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
- При \(a = 11\) - область значений: \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)
- При \(a = -3\) - область значений: \(\{-1, 0, 1\}\)

Надеюсь, это понятно и поможет вам разобраться с данной задачей!