Как переформулировать уравнение (26 cos^2x - 23 cosx + 5)/13sinx - 12

Muravey

58

Чтобы переформулировать данное уравнение, мы должны решить его сначала. Давайте начнем.

У нас есть уравнение:
\[\frac{{26 \cos^2 x - 23 \cos x + 5}}{{13 \sin x}} - 12\]

Давайте сначала упростим числитель дроби:
\[26 \cos^2 x - 23 \cos x + 5\]

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя методы квадратного уравнения.

Давайте обозначим \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:
\[26y^2 - 23y + 5\]

Мы можем разложить это квадратное уравнение на множители или решить его с помощью дискриминанта. Давайте воспользуемся дискриминантом.

Дискриминант \(D\) равен:
\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 26\), \(b = -23\), и \(c = 5\).

Вычислим дискриминант:
\[D = (-23)^2 - 4(26)(5)\]

\[D = 529 - 520\]

\[D = 9\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у нас есть два действительных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:
\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\) в формулу:
\[y = \frac{{23 \pm \sqrt{9}}}{{2 \cdot 26}}\]

\[y = \frac{{23 \pm 3}}{{52}}\]

Таким образом, получаем два значения для \(y\):
\[y_1 = \frac{{23 + 3}}{{52}} = \frac{{26}}{{52}} = \frac{{1}}{{2}}\]

\[y_2 = \frac{{23 - 3}}{{52}} = \frac{{20}}{{52}} = \frac{{5}}{{13}}\]

Помните, мы обозначили \(y = \cos x\). Теперь мы можем найти значения \(\cos x\) для каждого значения \(y\).

Для \(y_1 = \frac{{1}}{{2}}\):
\[\cos x = \frac{{1}}{{2}}\]
\(x_1\) может быть либо \(60^\circ\) либо \(300^\circ\), так как это два угла, для которых косинус равен \(\frac{{1}}{{2}}\).

Для \(y_2 = \frac{{5}}{{13}}\):
\[\cos x = \frac{{5}}{{13}}\]
В этом случае, мы должны использовать калькулятор или таблицу значений, чтобы найти значение угла \(x_2\).

Теперь, чтобы переформулировать исходное уравнение, мы используем эти значения \(\cos x\):
\[\frac{{26 \cos^2 x - 23 \cos x + 5}}{{13 \sin x}} - 12\]

Для \(x_1 = 60^\circ\) или \(x_1 = 300^\circ\):
\[\frac{{26 \cdot (\frac{{1}}{{2}})^2 - 23 \cdot (\frac{{1}}{{2}}) + 5}}{{13 \sin 60^\circ \text{ or } 13 \sin 300^\circ}} - 12\]

Для \(x_2\), мы заменяем \(\cos x\) значением \(\frac{{5}}{{13}}\):
\[\frac{{26 \cdot (\frac{{5}}{{13}})^2 - 23 \cdot (\frac{{5}}{{13}}) + 5}}{{13 \sin x_2}} - 12\]

Итак, после нахождения углов, мы можем переформулировать уравнение, используя их значения. Помните о том, что есть два значения для \(x_1\) и одно значение для \(x_2\), которые были найдены.