Как переформулировать уравнение (26 cos^2x - 23 cosx + 5)/13sinx - 12

Muravey

58

Чтобы переформулировать данное уравнение, мы должны решить его сначала. Давайте начнем.

У нас есть уравнение:
$$\frac{26{\cos }^{2}x-23\cos x+5}{13\sin x}-12$$

Давайте сначала упростим числитель дроби:
$$26{\cos }^{2}x-23\cos x+5$$

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя методы квадратного уравнения.

Давайте обозначим $y=\cos x$. Тогда уравнение примет вид:
$$26y^2-23y+5$$

Мы можем разложить это квадратное уравнение на множители или решить его с помощью дискриминанта. Давайте воспользуемся дискриминантом.

Дискриминант $D$ равен:
$$D=b^2-4ac$$

где $a=26$, $b=-23$, и $c=5$.

Вычислим дискриминант:
$$D=(-23{)}^2-4(26)(5)$$

$$D=529-520$$

$$D=9$$

Так как дискриминант $D>0$, у нас есть два действительных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:
$$y=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения $a$, $b$ и $D$ в формулу:
$$y=\frac{23\pm \sqrt{9}}{2\cdot 26}$$

$$y=\frac{23\pm 3}{52}$$

Таким образом, получаем два значения для $y$:
$$y_1=\frac{23+3}{52}=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$$

$$y_2=\frac{23-3}{52}=\frac{20}{52}=\frac{5}{13}$$

Помните, мы обозначили $y=\cos x$. Теперь мы можем найти значения $\cos x$ для каждого значения $y$.

Для $y_1=\frac{1}{2}$:
$$\cos x=\frac{1}{2}$$
$x_1$ может быть либо ${60}^{\circ }$ либо ${300}^{\circ }$, так как это два угла, для которых косинус равен $\frac{1}{2}$.

Для $y_2=\frac{5}{13}$:
$$\cos x=\frac{5}{13}$$
В этом случае, мы должны использовать калькулятор или таблицу значений, чтобы найти значение угла $x_2$.

Теперь, чтобы переформулировать исходное уравнение, мы используем эти значения $\cos x$:
$$\frac{26{\cos }^{2}x-23\cos x+5}{13\sin x}-12$$

Для $x_1={60}^{\circ }$ или $x_1={300}^{\circ }$:
$$\frac{26\cdot (\frac{1}{2}{)}^2-23\cdot (\frac{1}{2})+5}{13\sin {60}^{\circ }\text{ or }13\sin {300}^{\circ }}-12$$

Для $x_2$, мы заменяем $\cos x$ значением $\frac{5}{13}$:
$$\frac{26\cdot (\frac{5}{13}{)}^2-23\cdot (\frac{5}{13})+5}{13\sin x_2}-12$$

Итак, после нахождения углов, мы можем переформулировать уравнение, используя их значения. Помните о том, что есть два значения для $x_1$ и одно значение для $x_2$, которые были найдены.