Как реализовать алгоритм быстрого возведения в степень? Какие рекуррентные соотношения можно использовать для этого?

Buran

69

Алгоритм быстрого возведения в степень используется для эффективного возведения числа в большую степень. Он основан на рекурсивном разбиении степени пополам и применении следующих рекуррентных соотношений:

1. Если степень \(n\) равна 0, то ответ равен 1.
2. Если степень \(n\) четная, то \(a^n = (a^{n/2})^2\).
3. Если степень \(n\) нечетная, то \(a^n = a \cdot (a^{(n-1)/2})^2\).

Этот алгоритм позволяет уменьшить количество умножений при возведении числа в степень по сравнению с обычным методом.

Для применения алгоритма быстрого возведения в степень требуется входными данными являются число, которое нужно возвести в степень, и степень, в которую оно должно быть возведено.

Пример:

Пусть дано число 2 и степень 10. Используя алгоритм быстрого возведения в степень, мы можем пошагово решить эту задачу:

1. Степень 10 четная, применяем рекуррентное соотношение \(a^n = (a^{n/2})^2\).
2. Рассчитываем \(a^{10/2} = a^5\).
3. Степень 5 нечетная, применяем рекуррентное соотношение \(a^n = a \cdot (a^{(n-1)/2})^2\).
4. Рассчитываем \(a^{(5-1)/2} = a^2\).
5. Рассчитываем \(a^2 \cdot a^2 = a^4\).
6. Рассчитываем \(a \cdot a^4 = a^5\).
7. Получаем ответ \(2^{10} = a^5 = 2^5 = 32\).

Таким образом, при использовании алгоритма быстрого возведения в степень для числа 2 в степень 10, мы получаем 32. Количество умножений, необходимых для выполнения этого алгоритма, равно 4.

Надеюсь, это решение понятно и полезно для школьника!