Как реформулировать следующий вопрос: Как переписать выражение log2((sina-cosa)^2-1+1/2sina)+1/4cos^2*2a?

Тарас

21

Хорошо, чтобы переписать выражение \( \log_2((\sin a - \cos a)^2 - 1 + \frac{1}{2} \sin a) + \frac{1}{4} \cos^2 2a \), воспользуемся некоторыми свойствами логарифма и алгебровыми преобразованиями.

1. Начнем с первого слагаемого \( (\sin a - \cos a)^2 \). Это можно раскрыть, используя формулу квадрата разности: \( (\sin a - \cos a)^2 = \sin^2 a - 2 \sin a \cos a + \cos^2 a \).

2. Затем рассмотрим \( -1 + \frac{1}{2} \sin a \) и приведем это к общему знаменателю, чтобы сложить числители: \( -1 + \frac{1}{2} \sin a = -\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \sin a = -\frac{2}{2} + \frac{\sin a}{2} \).

3. Далее, объединим все слагаемые внутри \( \log_2 \) и упростим:
\[
\begin{aligned}
& \log_2((\sin a - \cos a)^2 - 1 + \frac{1}{2} \sin a) \\
& = \log_2(\sin^2 a - 2 \sin a \cos a + \cos^2 a - \frac{2}{2} + \frac{\sin a}{2}) \\
& = \log_2(\sin^2 a + \cos^2 a - 2 \sin a \cos a + \frac{\sin a}{2} - 1).
\end{aligned}
\]

4. В последнем слагаемом \( \frac{1}{4} \cos^2 2a \) вспомним формулу двойного угла: \( \cos^2 2a = \frac{1 + \cos 4a}{2} \).

Таким образом, переписанное выражение будет выглядеть следующим образом:
\[
\log_2(\sin^2 a + \cos^2 a - 2 \sin a \cos a + \frac{\sin a}{2} - 1) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \cos 4a}{2}.
\]

Это позволяет переписать и упростить исходное выражение, чтобы оно было более читабельным и понятным для школьника.