Как решить неравенство 2x > = log3(35/2*6^(x-1)-3*4^(x-1/2))?

Maksimovna

62

Чтобы решить это неравенство 2x ≥ log₃(35/2*6^(x-1)-3*4^(x-1/2)), нам нужно сделать несколько шагов. Давайте начнем.

Шаг 1: Используем свойство логарифма, согласно которому logₐ(b*c) равно logₐ(b) + logₐ(c). Применяя это свойство к нашему неравенству, получаем:

2x ≥ log₃(35/2) + log₃(6^(x-1)) - log₃(3*4^(x-1/2))

Шаг 2: Упростим каждое слагаемое.

log₃(35/2) = log₃(35) - log₃(2)
log₃(6^(x-1)) = (x-1)log₃(6)
log₃(3*4^(x-1/2)) = log₃(3) + log₃(4^(x-1/2))

Шаг 3: Подставим полученные значения обратно в исходное неравенство. Получим:

2x ≥ log₃(35) - log₃(2) + (x-1)log₃(6) - (log₃(3) + log₃(4^(x-1/2)))

Шаг 4: Упростим полученное неравенство дальше.

Разделим правую часть на две части, используя свойство логарифма logₐ(b)-logₐ(c) = logₐ(b/c):

2x ≥ (log₃(35) - log₃(2)) - log₃(3) + (x-1)log₃(6) - log₃(4^(x-1/2))

2x ≥ log₃((35/2)/3) + (x-1)log₃(6) - log₃(4^(x-1/2))

Шаг 5: Используем свойство степени и корня a^(m/n) = √a^m. Применяем это свойство к последнему слагаемому:

2x ≥ log₃((35/2)/3) + (x-1)log₃(6) - log₃(2^(2(x-1/2)))

2x ≥ log₃((35/2)/3) + (x-1)log₃(6) - 2(x-1/2)log₃(2)

Шаг 6: Упростим дальше, используя свойство логарифма logₐ(b^c) = clogₐ(b):

2x ≥ log₃((35/2)/3) + xlog₃(6) - log₃(2)

Шаг 7: Избавимся от логарифма, возведя обе части неравенства в степень 3:

(2x)³ ≥ ((35/2)/3)³ * 6^x * 2^(-1)

8x³ ≥ (35/2)³ * 6^x * 2^(-1)

Шаг 8: Приведем все слагаемые к общему знаменателю, чтобы можно было произвести упрощения:

8x³ ≥ (35/2)³ * (2^(-1) * 6^x)

Шаг 9: Упростим правую часть неравенства, домножив числитель и знаменатель на 2:

8x³ ≥ 35³ * 2^(-3) * 6^x

Шаг 10: Упростим дальше, приведя числа к одному порядку:

8x³ ≥ 35³ * (1/8) * 2^(-3) * 6^x

Шаг 11: Упростим правую часть еще раз:

8x³ ≥ (35³)/(8*8) * 2^(-3) * 6^x

Шаг 12: Приведем дробь к общему знаменателю:

8x³ ≥ (35³ * 2^(-3))/(8*8) * 6^x

Шаг 13: Упростим дальше:

8x³ ≥ (35²)/(2³*8) * 6^x

Шаг 14: Упростим полученное неравенство:

8x³ ≥ (35²)/(2^5) * 6^x

Шаг 15: Придем к итоговому неравенству:

x³ ≥ (35² * 2^(-5))/(8 * 6^x)

И это итоговое неравенство, которое не может быть упрощено дальше. Ответом к задаче является неравенство x³ ≥ (35² * 2^(-5))/(8 * 6^x).