Как решить систему дифференциальных уравнений dx/dt=t/y dy/dt=-t/x?

Кобра

70

Хорошо, давайте решим данную систему дифференциальных уравнений вместе:

Шаг 1: Приведение системы к уравнению с раздельными переменными

У нас есть два уравнения:
$\frac{dx}{dt}=\frac{t}{y}$ - уравнение (1)
$\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{x}$ - уравнение (2)

Чтобы решить данную систему, мы пользуемся методом разделения переменных. Для этого, необходимо привести уравнения к виду, где все переменные находятся на одной стороне уравнения, а все константы на другой стороне.

Для уравнения (1):
dx = $\frac{t}{y}dt$

Для уравнения (2):
dy = -$\frac{t}{x}dt$

Шаг 2: Интегрирование

Теперь, проинтегрируем оба уравнения.

Для уравнения (1):
$\int dx=\int \frac{t}{y}dt$

Для этого интеграла, мы можем воспользоваться методом частных интегрирований.
Мы должны поделить числитель и знаменатель на переменную y:
$\int dx=\int \frac{t}{y}dt=\int \frac{t}{y}\cdot \frac{dy}{dt}dt$

Выражение $\frac{y}{dt}$ в числителе и знаменателе сократится, и мы получим:
$\int dx=\int tdt=\frac{t^2}{2}+C_1$

где $C_1$ - произвольная постоянная интегрирования.

Для уравнения (2):
$\int dy=\int -\frac{t}{x}dt$

Для этого интеграла, нужно разделить числитель и знаменатель на переменную x:
$\int dy=\int -\frac{t}{x}\cdot \frac{dx}{dt}dt$

Выражение $\frac{x}{dt}$ в числителе и знаменателе сократится, и мы получим:
$\int dy=\int -tdx=-tx+C_2$

где $C_2$ - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 3: Общее решение системы

Теперь мы можем записать общее решение системы уравнений:

x = $\frac{t^2}{2}+C_1$ - уравнение (3)
y = -t x + C_2 - уравнение (4)

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений:
$x=\frac{t^2}{2}+C_1$
$y=-t(\frac{t^2}{2}+C_1)+C_2$

Это и есть общее решение системы дифференциальных уравнений dx/dt = t/y, dy/dt = -t/x.