Как решить систему дифференциальных уравнений dx/dt=t/y dy/dt=-t/x?

Кобра

70

Хорошо, давайте решим данную систему дифференциальных уравнений вместе:

Шаг 1: Приведение системы к уравнению с раздельными переменными

У нас есть два уравнения:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{t}}{{y}}\) - уравнение (1)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = -\frac{{t}}{{x}}\) - уравнение (2)

Чтобы решить данную систему, мы пользуемся методом разделения переменных. Для этого, необходимо привести уравнения к виду, где все переменные находятся на одной стороне уравнения, а все константы на другой стороне.

Для уравнения (1):
dx = \(\frac{{t}}{{y}}dt\)

Для уравнения (2):
dy = -\(\frac{{t}}{{x}}dt\)

Шаг 2: Интегрирование

Теперь, проинтегрируем оба уравнения.

Для уравнения (1):
\(\int dx = \int \frac{{t}}{{y}} dt\)

Для этого интеграла, мы можем воспользоваться методом частных интегрирований.
Мы должны поделить числитель и знаменатель на переменную y:
\(\int dx = \int \frac{{t}}{{y}} dt = \int \frac{{t}}{{y}} \cdot \frac{{dy}}{{dt}} dt\)

Выражение \(\frac{{y}}{{dt}}\) в числителе и знаменателе сократится, и мы получим:
\(\int dx = \int t dt = \frac{{t^{2}}}{2} + C_1\)

где \(C_1\) - произвольная постоянная интегрирования.

Для уравнения (2):
\(\int dy = \int -\frac{{t}}{{x}} dt\)

Для этого интеграла, нужно разделить числитель и знаменатель на переменную x:
\(\int dy = \int -\frac{{t}}{{x}} \cdot \frac{{dx}}{{dt}} dt\)

Выражение \(\frac{{x}}{{dt}}\) в числителе и знаменателе сократится, и мы получим:
\(\int dy = \int -t dx = -t x + C_2\)

где \(C_2\) - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 3: Общее решение системы

Теперь мы можем записать общее решение системы уравнений:

x = \(\frac{{t^{2}}}{2} + C_1\) - уравнение (3)
y = -t x + C_2 - уравнение (4)

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений:
\(x = \frac{{t^{2}}}{2} + C_1\)
\(y = -t \left(\frac{{t^{2}}}{2} + C_1\right) + C_2\)

Это и есть общее решение системы дифференциальных уравнений dx/dt = t/y, dy/dt = -t/x.