Как решить задачу Абызова 102(1) о гармонии?

Lyudmila

70

Конечно, я с радостью помогу вам решить задачу Абызова 102(1) о гармонии! Для начала давайте рассмотрим постановку задачи:

"Колебательное движение математического груза выражается уравнением \( x = a \cdot \sin (\omega t + \phi) \), где \( x \) - координата груза в определенный момент времени, \( a \) - амплитуда колебаний, \( \omega \) - циклическая частота, \( t \) - время, \(\phi\) - начальная фаза колебаний. Изначально груз находится в центре координат, \( x = 0 \), а его начальная скорость равна нулю. В момент времени \( t_0 \) математический груз находится в положении с амплитудой \( a \), а его координата \( x_0 = a \cdot \sin \phi_0 \). Найдите начальную фазу \( \phi_0 \) колебаний груза."

Шаг 1: Вначале нам нужно найти уравнение движения груза, используя известные данные и заданное уравнение.
У нас есть следующие данные:
- Начальное положение груза: \( x_0 = a \cdot \sin \phi_0 \)
- Начальная скорость груза: \( v_0 = \frac{dx}{dt} = 0 \)

Мы знаем, что производная \( \frac{dx}{dt} \) от \( x \) по \( t \) равна скорости, поэтому если у нас есть \( v_0 = 0 \), то
\[ v_0 = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (a \cdot \sin (\omega t + \phi)) = a \cdot \omega \cdot \cos (\omega t + \phi) \]

Таким образом, у нас есть уравнения для начальной координаты и начальной скорости, а именно:
\[ x_0 = a \cdot \sin \phi_0 \]
\[ v_0 = a \cdot \omega \cdot \cos \phi_0 \]

Шаг 2: Используя эти уравнения, мы можем найти значение \( \phi_0 \). Для этого поделим уравнение для начальной скорости на уравнение для начальной координаты:
\[ \frac{v_0}{x_0} = \frac{a \cdot \omega \cdot \cos \phi_0}{a \cdot \sin \phi_0} \]

Сократим \( a \):
\[ \frac{v_0}{x_0} = \frac{\omega \cdot \cos \phi_0}{\sin \phi_0} \]

Перепишем правую часть с использованием тригонометрической тождества:
\[ \frac{v_0}{x_0} = \frac{\omega}{\tan \phi_0} \]

Возьмем обратную функцию к тангенсу с двух сторон уравнения:
\[ \arctan \left( \frac{v_0}{x_0} \right) = \phi_0 \]

Таким образом, мы нашли значение \( \phi_0 \):
\[ \phi_0 = \arctan \left( \frac{v_0}{x_0} \right) \]

И это является ответом на задачу Абызова 102(1) о гармонии!