Как решить задачу Абызова 102(1) о гармонии?

Lyudmila

70

Конечно, я с радостью помогу вам решить задачу Абызова 102(1) о гармонии! Для начала давайте рассмотрим постановку задачи:

"Колебательное движение математического груза выражается уравнением $x=a\cdot \sin (\omega t+\varphi )$, где $x$ - координата груза в определенный момент времени, $a$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - циклическая частота, $t$ - время, $\varphi$ - начальная фаза колебаний. Изначально груз находится в центре координат, $x=0$, а его начальная скорость равна нулю. В момент времени $t_0$ математический груз находится в положении с амплитудой $a$, а его координата $x_0=a\cdot \sin {\varphi }_0$. Найдите начальную фазу ${\varphi }_0$ колебаний груза."

Шаг 1: Вначале нам нужно найти уравнение движения груза, используя известные данные и заданное уравнение.
У нас есть следующие данные:
- Начальное положение груза: $x_0=a\cdot \sin {\varphi }_0$
- Начальная скорость груза: $v_0=\frac{dx}{dt}=0$

Мы знаем, что производная $\frac{dx}{dt}$ от $x$ по $t$ равна скорости, поэтому если у нас есть $v_0=0$, то
$$v_0=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(a\cdot \sin (\omega t+\varphi ))=a\cdot \omega \cdot \cos (\omega t+\varphi )$$

Таким образом, у нас есть уравнения для начальной координаты и начальной скорости, а именно:
$$x_0=a\cdot \sin {\varphi }_0$$
$$v_0=a\cdot \omega \cdot \cos {\varphi }_0$$

Шаг 2: Используя эти уравнения, мы можем найти значение ${\varphi }_0$. Для этого поделим уравнение для начальной скорости на уравнение для начальной координаты:
$$\frac{v_0}{x_0}=\frac{a\cdot \omega \cdot \cos {\varphi }_0}{a\cdot \sin {\varphi }_0}$$

Сократим $a$:
$$\frac{v_0}{x_0}=\frac{\omega \cdot \cos {\varphi }_0}{\sin {\varphi }_0}$$

Перепишем правую часть с использованием тригонометрической тождества:
$$\frac{v_0}{x_0}=\frac{\omega }{\tan {\varphi }_0}$$

Возьмем обратную функцию к тангенсу с двух сторон уравнения:
$$\arctan \left(\frac{v_0}{x_0}\right)={\varphi }_0$$

Таким образом, мы нашли значение ${\varphi }_0$:
$${\varphi }_0=\arctan \left(\frac{v_0}{x_0}\right)$$

И это является ответом на задачу Абызова 102(1) о гармонии!