Как связаны периоды обращения двух спутников, вращающихся вокруг планеты по орбитам с радиусами, выраженными

Lelya

70

Для решения данной задачи рассмотрим законы Кеплера, которые определяют движение небесных тел.

Период обращения спутника вокруг планеты зависит от радиуса его орбиты. Простыми словами, чем дальше от планеты находится спутник, тем больше его период обращения.

Закон Кеплера относится к закону общей гравитации и выражается формулой:
\[
\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}
\]
где \(T\) - период обращения спутника, \(r\) - радиус орбиты спутника, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(m\) - масса спутника.

Для двух спутников соотношение радиусов орбит может быть записано как \(r_2/r_1\). Чтобы найти соотношение периодов обращений этих спутников, мы можем подставить соответствующие значения в формулу и сравнить результаты:
\[
\frac{T_2^2}{r_2^3} = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}
\]
\[
\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}
\]

Разделим второе уравнение на первое:
\[
\frac{T_1^2}{r_1^3} \div \frac{T_2^2}{r_2^3} = \frac{\frac{4\pi^2}{G(M + m)}}{\frac{4\pi^2}{G(M + m)}}
\]

Теперь можно упростить уравнение:
\[
\frac{T_1^2}{T_2^2} \cdot \frac{r_2^3}{r_1^3} = 1
\]

Из данного уравнения можно сделать вывод, что периоды обращения двух спутников прямо пропорциональны третьим степеням радиусов их орбит:
\[
\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}
\]

Таким образом, мы получили связь между периодами обращения двух спутников и отношением радиусов их орбит.

Важно отметить, что описанная формула справедлива при предположении, что масса планеты значительно превосходит массу спутников и влиянием остальных небесных тел можно пренебречь. Также необходимо использовать соответствующие единицы измерения, чтобы получить точный результат.