Как записать с использованием индексной формы следующее выражение: √(3) × 2^(-3/2) × ∛(5^2/3) × 3^(-6/5

Saveliy

24

Конечно, давайте решим эту задачу. Для начала, заметим, что индексная форма - это удобный способ записи степеней и корней в математике. Для записи данного выражения с использованием индексной формы, нужно преобразовать каждый фактор отдельно.

Давайте приступим к решению:

1. Начнем с первого фактора: \(\sqrt{3}\).
Используя индексную форму, можно записать это выражение как \(3^{1/2}\).

2. Второй фактор: \(2^{-3/2}\).
Используя индексную форму, запись будет выглядеть: \(2^{-3/2}\).

3. Третий фактор: \(\sqrt[3]{5^{2/3}}\).
С использованием индексной формы, это будет равно \((5^{2/3})^{1/3}\).

4. Четвертый фактор: \(3^{-6/5}\).
Используя индексную форму, выражение будет выглядеть: \(3^{-6/5}\).

5. Пятый фактор: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-10/3}\).
Индексная форма этого выражения выглядит так: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-10/3}\).

6. Шестой фактор: \(\sqrt{5}\).
Используя индексную форму, это будет записано как \(5^{1/2}\).

7. Седьмой фактор: \(2^{-0.25}\).
С использованием индексной формы, выражение будет выглядеть: \(2^{-0.25}\).

8. Восьмой фактор: \((1/3)^{-2/5}\).
Индексная форма данного выражения: \((1/3)^{-2/5}\).

9. Девятый фактор: \(2^{1/2} \times 5^{1/5}\).
С использованием индексной формы, это можно записать как \(2^{1/2} \times 5^{1/5}\).

10. И последний фактор: \((3/4)^{-1/2}\).
Индексная форма: \((3/4)^{-1/2}\).

Теперь, когда мы преобразовали каждый фактор в его индексную форму, чтобы записать всё выражение в индексной форме, нужно умножить все результирующие выражения:

\[3^{1/2} \times 2^{-3/2} \times (5^{2/3})^{1/3} \times 3^{-6/5} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{-10/3} \times 5^{1/2} \times 2^{-0.25} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{-2/5} \times 2^{1/2} \times 5^{1/5} \times \left(\frac{3}{4}\right)^{-1/2}\]

Теперь мы можем объединить одинаковые основания степеней, учитывая, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями, мы складываем их показатели:

\[3^{1/2} \times 2^{-3/2} \times 5^{2/3 \times 1/3 + 1/2 + 1/5} \times (2/3)^{10/3} \times (1/3)^{2/5} \times (3/4)^{-1/2}\]

Давайте сократим все дробные выражения, используя числитель и знаменатель:

\[3^{1/2} \times 2^{-3/2} \times 5^{2/15 + 3/10 + 3/30} \times (2/3)^{10/3} \times (1/3)^{2/5} \times (3/4)^{-1/2}\]

Вычислим значения дробей:

\[3^{1/2} \times 2^{-3/2} \times 5^{4/30 + 9/30 + 1/30} \times (2/3)^{10/3} \times (1/3)^{6/30} \times (3/4)^{-1/2}\]

\[3^{1/2} \times 2^{-3/2} \times 5^{14/30} \times (2/3)^{10/3} \times (1/3)^{1/5} \times (3/4)^{-1/2}\]

Выполним простые вычисления:

\[3^{1/2} \times 2^{-3/2} \times 5^{7/15} \times (2/3)^{10/3} \times (1/3)^{1/5} \times (3/4)^{-1/2}\]

Таким образом, данное выражение, записанное с использованием индексной формы, будет выглядеть следующим образом:

\[3^{1/2} \times 2^{-3/2} \times 5^{7/15} \times (2/3)^{10/3} \times (1/3)^{1/5} \times (3/4)^{-1/2}\]

Я надеюсь, что объяснение было понятным. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!