Какая будет новая частота вращения стержня, если шайбу передвинуть на расстояние L/4 в направлении оси вращения

Timur

32

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения момента импульса и энергии.

Момент импульса тела определяется как произведение массы тела на его скорость вращения и радиус вращения. В данном случае, когда шайбу передвигают на расстояние L/4 в направлении оси вращения, масса шайбы и радиус вращения шайбы остаются неизменными, но масса вращающегося стержня увеличивается на массу шайбы. Поэтому, чтобы сохранить момент импульса системы, частота вращения стержня должна измениться.

Из закона сохранения момента импульса можно записать следующее уравнение:

\[m_1 \omega_1 r_1 = (m_1 + m_2) \omega_2 (r_1 - \frac{L}{4})\]

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы стержня и шайбы соответственно, \(\omega_1\) и \(\omega_2\) - исходная и новая частоты вращения стержня, \(r_1\) - радиус вращения исходной системы и \(L\) - расстояние, на которое передвигается шайба.

Если мы домножим обе части этого уравнения на \(\frac{2}{(m_1 + m_2)}\), то получим:

\[2 \omega_1 r_1 = 2 \omega_2 (r_1 - \frac{L}{4})\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(\omega_2\):

\[2 \omega_1 r_1 = 2 \omega_2 r_1 - \omega_2 \frac{L}{2}\]

\[2 \omega_2 r_1 - \omega_2 \frac{L}{2} = 2 \omega_1 r_1\]

\[\omega_2 (2 r_1 - \frac{L}{2}) = 2 \omega_1 r_1\]

\[\omega_2 = \frac{2 \omega_1 r_1}{2 r_1 - \frac{L}{2}}\]

Таким образом, новая частота вращения стержня будет равна \(\frac{2 \omega_1 r_1}{2 r_1 - \frac{L}{2}}\).