Какая будет последняя цифра числа, полученного после вычисления произведения всех чисел от 1 до 100 с вычеркиванием

Krosha

26

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить произведение всех чисел от 1 до 100, вычеркнуть все нули и определить, будет ли последняя цифра полученного числа четной или нечетной.

Шаг 1: Вычисление произведения всех чисел от 1 до 100
Для этого мы можем использовать факториал. Факториал числа n обозначается символом n! и представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Таким образом, мы можем выразить произведение всех чисел от 1 до 100 следующим образом:
\[1! \times 2! \times 3! \times \ldots \times 99! \times 100!\]

Шаг 2: Вычеркивание нулей
Теперь нам нужно вычеркнуть все нули из результата. Для этого мы можем разложить каждый факториал на простые множители и учитывать, что каждый ноль вносит фактор 10 в произведение. То есть, если у нас есть число \(n!\), в котором есть m нулей, мы можем разложить \(n!\) на простые множители и заметить, что есть достаточно множителей 2 и 5, чтобы образовать m нулей.

Шаг 3: Определение последней цифры
Теперь мы можем рассмотреть каждое число от 1 до 100 и посчитать количество нулей в его факториале. Мы знаем, что 2 и 5 являются простыми множителями, поэтому количество нулей в факториале n будет определяться наименьшим из показателей степени чисел 2 и 5 в разложении. Проще говоря, количество нулей будет равно количеству чисел 5 в разложении. Отсюда мы можем увидеть, что чтобы получить хотя бы один ноль в конце числа, нам нужно, чтобы было как минимум одно число 5 в разложении факториала.

Шаг 4: Разложение чисел от 1 до 100
Мы можем заметить, что числа, которые содержат множитель 5 в своем разложении, это 5, 10, 15, 20, и так далее. То есть они формируют арифметическую прогрессию с шагом 5.

Теперь мы можем посчитать количество чисел, которые делятся на 5 от 1 до 100 включительно:
\[\frac{100}{5} = 20\]

То есть у нас есть 20 чисел, которые содержат множитель 5 в своем разложении. Но мы также замечаем, что некоторые из них также содержат дополнительные множители 5 в своем разложении. Например, число 25 содержит два множителя 5: 5 и 25.
Мы можем посчитать количество чисел, которые содержат еще один множитель 5, проделав ту же операцию:
\[\frac{100}{25} = 4\]

То есть у нас есть 4 числа, которые содержат два множителя 5 в своем разложении.

Шаг 5: Вычисление последней цифры
Теперь мы можем определить, какая последняя цифра числа будет, если мы учтем произведение всех чисел от 1 до 100 с вычеркиванием нулей. Мы знаем, что каждое число, которое дает множитель 5 в разложении, будет создавать один ноль в конце результата. Таким образом, количество чисел, которое содержат множитель 5 в своем разложении, будет определять количество нулей в итоговом числе.

Мы вычислили, что у нас есть 20 чисел, содержащих множитель 5, и 4 числа, содержащих два множителя 5. Значит, у нас будет 20 + 4 = 24 нуля в итоговом числе.

Теперь давайте определим, будет ли последняя цифра полученного числа четной или нечетной. Если у нас есть хотя бы один ноль в конце числа, то последняя цифра будет четной, так как ноль всегда делится на 2 без остатка.

Итак, ответ на задачу: последняя цифра числа, полученного после вычисления произведения всех чисел от 1 до 100 с вычеркиванием всех нулей, будет четной.