Какая будет скорость шариков после того, как они склеятся?

Николай

9

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые предположения и формулы. Допустим, у нас имеются два шарика массами \( m_1 \) и \( m_2 \) соответственно и начальными скоростями \( v_1 \) и \( v_2 \). Мы предполагаем, что перед столкновением шариков на них не действуют никакие внешние силы. Как только они сталкиваются, они склеиваются в один шарик массой \( m = m_1 + m_2 \).

Для решения этой задачи можно использовать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения. Математически это записывается следующим образом:

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v \]

где \( v \) - скорость объединенного шарика после столкновения.

Закон сохранения энергии гласит, что энергия системы до столкновения должна быть равна энергии системы после столкновения. Энергия системы состоит из кинетической энергии и может быть записана следующим образом:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot v^2 \]

Теперь, имея два уравнения, можно решить систему уравнений и найти скорость \( v \) объединенного шарика после столкновения.

Для упрощения вычислений, предположим, что один из шариков находится в покое, т.е. \( v_2 = 0 \).

Сначала решим уравнение для сохранения импульса:

\[ m_1 \cdot v_1 = m \cdot v \]

Выразим \( v \):

\[ v = \frac{m_1 \cdot v_1}{m} \]

Теперь решим уравнение для сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} m \cdot v^2 \]

Подставим найденное значение \( v \):

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} m \cdot \left( \frac{m_1 \cdot v_1}{m} \right)^2 \]

Упростим выражение:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1^2 \cdot v_1^2}{m} \]

Теперь умножим обе части уравнения на 2 и сократим \( v_1^2 \):

\[ m_1 = \frac{m_1^2}{m} \]

Теперь найдем значение \( m \):

\[ m = \frac{m_1^2}{m_1} \]

\[ m = m_1 \]

То есть, масса объединенного шарика равна сумме масс шариков \( m_1 \) и \( m_2 \).

Таким образом, после склеивания шариков их скорость будет равна скорости первого шарика \( v_1 \), и масса объединенного шарика будет равна сумме масс шариков \( m_1 \) и \( m_2 \).