Какая длина стороны равностороннего треугольника, если его медиана равна 14√3?

Tanec

47

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойство равностороннего треугольника и медиану.

В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину, поэтому давайте предположим, что длина каждой стороны равна \(x\).

Медиана треугольника делит его на два равных треугольника. Таким образом, если мы проводим медиану из вершины в середину противоположной стороны, полученные два треугольника окажутся равными и прямоугольными.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза является медианой и равна \(14\sqrt{3}\). Давайте обозначим катеты этого треугольника как \(a\) и \(b\).

Используя теорему Пифагора, мы можем записать следующее соотношение:

\[a^2 + b^2 = (14\sqrt{3})^2\]

Упростим это уравнение:

\[a^2 + b^2 = 196 \cdot 3\]
\[a^2 + b^2 = 588\]

Так как это прямоугольный треугольник, мы знаем, что \(a = b\). Поэтому мы можем записать:

\[2a^2 = 588\]
\[a^2 = 294\]

Теперь найдем значение \(a\). Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы получим:

\[a = \sqrt{294}\]

Упростим это значение, используя разложение на множители:

\[a = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 7^2}\]
\[a = 7\sqrt{2 \cdot 3}\]
\[a = 7\sqrt{6}\]

Итак, длина каждой стороны равностороннего треугольника равна \(7\sqrt{6}\).