Какова площадь полной поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды с периметром основания равным 30 и

Турандот

32

Для решения данной задачи, нам понадобится знание формулы для расчета площади полной поверхности усеченной пирамиды. Данная формула имеет вид:

\[S = B + L_1 + L_2\]

где \(S\) - площадь полной поверхности, \(B\) - площадь основания пирамиды, \(L_1\) и \(L_2\) - площади боковых граней пирамиды.

Для начала, нам необходимо найти площадь основания пирамиды, требуемую для расчета площади полной поверхности. В данной задаче основание пирамиды представляет собой правильный треугольник.

Мы знаем, что периметр основания правильной треугольной пирамиды равен 30 и 60. Периметр треугольника рассчитывается по формуле:

\[P = a + b + c\]

где \(P\) - периметр, \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника.

В данной задаче у нас есть два периметра. Для дальнейших расчетов выберем один из них для примера и решим задачу.

Пусть периметр основания равен 30. Нам нужно найти длины сторон треугольника, чтобы найти его площадь.


Так как основание пирамиды является правильным треугольником, то стороны треугольника равны между собой. Обозначим длину стороны треугольника как \(a\).

Тогда согласно формуле периметра, получим уравнение:

\[30 = a + a + a = 3a\]

Выражая из уравнения \(a\), найдем его значение:

\[a = \frac{30}{3} = 10\]

Таким образом, длина стороны треугольника равна 10.

Для нахождения площади правильного треугольника, можно воспользоваться одной из следующих формул:

1. Формула Герона:

\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - a) \cdot (p - a)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, равный половине периметра треугольника.

2. Формула для равностороннего треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

В данном случае, наш треугольник является правильным треугольником, поэтому воспользуемся второй формулой.
Подставив значение стороны треугольника, получим:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{10^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания пирамиды (\(B\)), мы можем перейти к расчету площади боковых граней пирамиды (\(L_1\) и \(L_2\)).

Площадь боковых граней усеченной пирамиды можно вычислить, зная высоту пирамиды (\(h\)) и длину бокового ребра (\(l\)). В нашем случае, значение апофемы является высотой пирамиды.

Таким образом, нам нужно найти длину бокового ребра пирамиды. По теореме Пифагора, длина бокового ребра усеченной пирамиды (\(l\)) связана с длиной основания пирамиды (\(a\)) и апофемой пирамиды (\(h\)) по следующей формуле:

\[l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2}\]

Зная апофему (\(h\)), мы можем найти значение \(l\). Подставим ваше значение апофемы в эту формулу и посчитаем \(l\).