Какая функция имеет первообразную, которая проходит через точку (-1, a), при условии, что f(x) = 4x + 1/x^2?

Vladimirovna_3601

1

Для решения этой задачи, мы должны найти функцию \( F(x) \), первообразную функции \( f(x) \), которая проходит через точку \((-1, a)\), где \( a \) - произвольная константа.

Давайте начнем с вычисления первообразной функции \( f(x) \). Для этого мы будем использовать обычные методы интегрирования.

Итак, у нас дана функция \( f(x) = 4x + \frac{1}{{x^2}} \). Чтобы найти первообразную, мы найдем его антипроизводную.

Для первого слагаемого \( 4x \) первообразная будет \( 2x^2 \). Для второго слагаемого \( \frac{1}{x^2} \) первообразная будет \( -\frac{1}{x} \).

Теперь, чтобы найти первообразную функцию \( F(x) \) функции \( f(x) \), мы просто складываем эти две антипроизводные:

\[ F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \]

Где \( C \) - произвольная постоянная.

Теперь мы должны удовлетворить условие задачи, что первообразная проходит через точку \((-1, a)\). Чтобы это выполнить, мы подставим значения \( x = -1 \) и \( F(x) = a \) в уравнение:

\[ a = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \]

Упрощаем это выражение:

\[ a = 2 - 1 - C \]
\[ a = 1 - C \]

Теперь нам нужно найти значение \( C \). Для этого мы выразим \( C \) из уравнения и подставим обратно:

\[ C = 1 - a \]

Таким образом, окончательное решение будет выглядеть следующим образом:

\[ F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + (1 - a) \]

И это будет функция первообразная \( f(x) = 4x + \frac{1}{{x^2}} \), которая проходит через точку \((-1, a)\) при условии, что \( a \) - произвольная константа.